Calcule as derivadas parciais das funções a seguir nos pontos dados.
f(x, y)=3 x^2 y^4-2 x^2 y+5 x^2 y^2 nos pontos x=4 e y=2

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de
f(x,y)=3x^2y^4-2x^2y+5x^2y^2
no ponto x=4, y=2. O conteúdo aqui é derivada parcial de função de duas variáveis, usando a regra da potência e tratando a outra variável como constante.

Passo 2

Para obter as deriva­das parciais gerais, derivamos f em relação a x e em relação a (y)":
Derivando em relação a x, tratando y como constante:
partial fpartial x =partialpartial x(3x^2y^4)-partialpartial x(2x^2y)+partialpartial x(5x^2y^2) =6xy^4-4xy+10xy^2
Derivando em relação a y, tratando x como constante:
partial fpartial y =partialpartial y(3x^2y^4)-partialpartial y(2x^2y)+partialpartial y(5x^2y^2) =12x^2y^3-2x^2+10x^2y

Passo 3

Agora substituímos x=4 e y=2 em partial f/partial x:
partial fpartial x(4,2)=6cdot4cdot2^4-4cdot4cdot2+10cdot4cdot2^2 =6cdot4cdot16-32+10cdot4cdot4 =384-32+160 =512

Passo 4

Por fim, substituímos x=4 e y=2 em partial f/partial y:
partial fpartial y(4,2)=12cdot4^2cdot2^3-2cdot4^2+10cdot4^2cdot2 =12cdot16cdot8-2cdot16+10cdot16cdot2 =1536-32+320 =1824

Resposta

As derivadas parciais no ponto são fx(4,2)=512 e fy(4,2)=1824.

Exercícios relacionados