Calcule as derivadas parciais das funções a seguir nos pontos dados.
x=2 nos pontos y=1 e

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de
f(x,y)=x^2y^3l(0,2x^2+3y^3r)^3
no ponto (x,y)=(2,1). Vamos usar as regras do produto e da cadeia para funções de duas variáveis.

Passo 2

Para facilitar, definimos duas funções auxiliares:
u(x,y)=x^2y^3, v(x,y)=0.2x^2+3y^3
Assim f(x,y)=u(x,y),[v(x,y)]^3. Precisamos de
$$u_x=2x y^3,
\quad u_y=3x^2 y^2,$$
$$v_x=0.4x,
\quad v_y=9y^2.$$

Passo 3

Aplicando produto e cadeia, temos
fx = ux,v^3 + u,3v^2,vx,
fy = uy,v^3 + u,3v^2,vy

Passo 4

Agora avaliamos em (2,1):
$$u(2,1)=22\cdot13=4,
\quad v(2,1)=0.2\cdot2^2+3\cdot1^3=0.8+3=3.8,$$
$$v^2=14.44,
\quad v^3=54.872,$$
$$u_x(2,1)=2\cdot2\cdot1^3=4,
\quad v_x(2,1)=0.4\cdot2=0.8,$$
$$u_y(2,1)=3\cdot22\cdot12=12,
\quad v_y(2,1)=9\cdot1^2=9.$$
Substituindo:
u(2,1)=2^2cdot1^3=4, v(2,1)=0.2cdot2^2+3cdot1^3=0.8+3=3.8,
v^2=14.44, v^3=54.872,

Resposta

fx(2,1)=358.112 e fy(2,1)=2217.984.

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