Calcule as derivadas parciais das funções a seguir nos pontos dados.
nos pontos
e
Passo 1
O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de
no ponto
Passo 2
Para facilitar, definimos duas funções auxiliares:
Assim
$$u_x=2x y^3,
\quad u_y=3x^2 y^2,$$
$$v_x=0.4x,
\quad v_y=9y^2.$$
Passo 3
Aplicando produto e cadeia, temos
Passo 4
Agora avaliamos em
:
$$u(2,1)=22\cdot13=4,
\quad v(2,1)=0.2\cdot2^2+3\cdot1^3=0.8+3=3.8,$$
$$v^2=14.44,
\quad v^3=54.872,$$
$$u_x(2,1)=2\cdot2\cdot1^3=4,
\quad v_x(2,1)=0.4\cdot2=0.8,$$
$$u_y(2,1)=3\cdot22\cdot12=12,
\quad v_y(2,1)=9\cdot1^2=9.$$
Substituindo: