Questão 10. Obtenha a expansão em série de Laurent de cada uma das funções abaixo na região indicada:
f(z) e^z(z+1)^2 para 0<|z+1|;

Passo 1

Estamos buscando a expansão em série de Laurent de f(z)=e^z(z+1)^2 em torno de z=-1, na região 0<|z+1|. O conteúdo é usar séries de potências (expansão de Taylor) de e^z deslocadas e depois dividir por (z+1)^2.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever e^z de modo a centralizar a expansão em z=-1. Note que z = (z+1)-1, então
e^z = e^(z+1)-1 = e^-1 ,e^z+1

Passo 3

Agora usamos a série de Taylor de e^z+1 em torno de z+1=0:
e^z+1 = sumn=0^infty (z+1)^nn!

Passo 4

Substituindo na função e dividindo por (z+1)^2, temos:
f(z)=e^z(z+1)^2 = e^-1,1(z+1)^2 sumn=0^infty (z+1)^nn! = e^-1 sumn=0^infty (z+1)^n-2n!

Passo 5

Para expressar como série de Laurent padrão, fazemos a mudança de índice k=n-2, logo n=k+2 e k=-2,-1,0,1,dots. Assim
f(z)=sumk=-2^infty e^-1(k+2)!,(z+1)^k, e essa série converge para todo z com 0<|z+1|.

Resposta

f(z)=e^z(z+1)^2=e^-1sumn=0^infty(z+1)^n-2n!=sumk=-2^inftye^-1(k+2)!,(z+1)^k,0<|z+1|

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