Estude a função dada com relação aos intervalos de crescimento, decrescimento, concavidade e pontos de inflexão. Esboce o gráfico, considerando as assíntotas também.
Passo 1
Resumo do enunciado: temos a função
. Vamos estudar: domínio, intervalos de crescimento/decrescimento, extremos, concavidade, pontos de inflexão e assíntotas. O conteúdo principal é cálculo de derivadas primeira e segunda.
Passo 2
Cálculo da derivada primeira:
Derivando por produto:
Derivando por produto:
Colocando em evidência
:
Passo 3
Determinação dos pontos críticos:
em
. Além disso
é indefinida em
(tangente vertical).
Passo 4
Estudo do sinal de
: como
para
, o sinal de
vem de
:
• em
: decresce.
• em
: cresce.
•
•
Passo 5
Conclusão de extremos: em
muda de decrescente para crescente → mínimo local em
. Em
não há extremo, mas tangente vertical.
Passo 6
Cálculo da derivada segunda: derivando
Passo 7
Estudo da concavidade e ponto de inflexão:
Para :
, então
se
e
se
.
Para :
, e
, logo
em todo
.
• Concavo para cima em .
• Concavo para baixo em .
Ponto de inflexão em , com
.
Para
Para
• Concavo para cima em
• Concavo para baixo em
Ponto de inflexão em
Passo 8
Assíntotas: a função cresce como
para
, não há retas assintóticas nem verticais (exceto a tangente vertical em
, que não é assíntota).
Passo 9
Esboço do gráfico:
• Zeros em e
.
• De em
decresce até
, depois cresce com concavidade para cima até
com tangente vertical, segue crescente mas côncavo para baixo até o ponto de inflexão
, e então cresce côncavo para cima até
.
• Zeros em
• De
Resposta
Intervalos de crescimento:
; decrescimento:
. Mínimo local em
. Tangente vertical em
. Concavidade: côncavo para cima em
, côncavo para baixo em
. Ponto de inflexão em
. Não há assíntotas.