Estude a função dada com relação aos intervalos de crescimento, decrescimento, concavidade e pontos de inflexão. Esboce o gráfico, considerando as assíntotas também.
h(x)=x^1 / 3(x+4)

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a função h(x)=x^1/3(x+4). Vamos estudar: domínio, intervalos de crescimento/decrescimento, extremos, concavidade, pontos de inflexão e assíntotas. O conteúdo principal é cálculo de derivadas primeira e segunda.

Passo 2

Cálculo da derivada primeira:
Derivando por produto:
h'(x)=ddxl(x^1/3r),(x+4)+x^1/3cdotddx(x+4)
h'(x)=13x^-2/3(x+4)+x^1/3
Colocando em evidência x^-2/3:
h'(x)=x^-2/3l(tfrac13(x+4)+xr)=x^-2/3l(tfrac43x+tfrac43r)=43x^-2/3(x+1)

Passo 3

Determinação dos pontos críticos: h'(x)=0 em x=-1. Além disso h' é indefinida em x=0 (tangente vertical).

Passo 4

Estudo do sinal de h'(x): como x^-2/3>0 para xneq0, o sinal de h' vem de x+1:
h'<0 em (,-infty,-1): decresce.
h'>0 em (-1,0)cup(0,infty): cresce.

Passo 5

Conclusão de extremos: em x=-1 muda de decrescente para crescente → mínimo local em (-1,h(-1))=(-1,-3). Em x=0 não há extremo, mas tangente vertical.

Passo 6

Cálculo da derivada segunda: derivando
h'(x)=43x^1/3+43x^-2/3
h''(x)=49x^-2/3-89x^-5/3=49x^-5/3(x-2)

Passo 7

Estudo da concavidade e ponto de inflexão:
Para x>0: x^-5/3>0, então h'>0 se x>2 e h''<0 se 0.
Para x<0: x^-5/3<0, e x-2<0, logo h'>0 em todo x<0.
• Concavo para cima em (0,2).
• Concavo para baixo em x=2.
Ponto de inflexão em h(2)=2^1/3cdot6=6,2^1/3, com .

Passo 8

Assíntotas: a função cresce como x^4/3 para xtopminfty, não há retas assintóticas nem verticais (exceto a tangente vertical em x=0, que não é assíntota).

Passo 9

Esboço do gráfico:
• Zeros em x=-4 e x=0.
• De +infty em xto-infty decresce até (-1,-3), depois cresce com concavidade para cima até (0,0) com tangente vertical, segue crescente mas côncavo para baixo até o ponto de inflexão (2,6,2^1/3), e então cresce côncavo para cima até +infty.

Resposta

Intervalos de crescimento: (-1,0)cup(0,infty); decrescimento: ( -infty,-1). Mínimo local em (-1,-3). Tangente vertical em x=0. Concavidade: côncavo para cima em ( -infty,0)cup(2,infty), côncavo para baixo em (0,2). Ponto de inflexão em l(2,6,2^1/3r). Não há assíntotas.

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