Questão 10. Obtenha a expansão em série de Laurent de cada uma das funções abaixo na região indicada:
f(z) z+1z-1 para 1<|z|.

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos expandir em série de Laurent a função f(z)=z+1z-1 na região |z|>1. Vamos precisar usar a técnica de expansão em série geométrica para 1/(z-1).

Passo 2

Reescrevemos a função de modo a isolar uma parte que admita série geométrica: f(z)=z+1z-1=(z-1)+2z-1=1+2z-1

Passo 3

Aplicamos a expansão de série geométrica em 1/(z-1). Para |z|>1 temos |1/z|<1, pois .

Passo 4

Multiplicamos por 2 e adicionamos 1 para obter a série de Laurent completa: f(z)=1+2sumn=0^inftyz^-n-1=1+2sumn=1^inftyz^-n

Resposta

1+2sumn=1^inftyz^-n

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