Calcule as derivadas parciais das funções a seguir nos pontos dados.
f(x, y)=2(x^3-3 y^2)^2 nos pontos x=1 e y=3

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de
f(x,y)=2l(x^3-3y^2r)^2
no ponto (x,y)=(1,3).
O conteúdo usado será a definição de derivada parcial e a regra da cadeia, pois a função é composta por u(x,y)=x^3-3y^2 ao quadrado.

Passo 2

Para achar partial fpartial x, escrevemos f(x,y)=2u^2 com u=x^3-3y^2 e aplicamos a regra da cadeia:
partial fpartial x = ddxl(2u^2r) =4u;partial upartial x =4l(x^3-3y^2r)cdot 3x^2 =12x^2l(x^3-3y^2r)

Passo 3

Agora avaliamos em (1,3):
x^3-3y^2 |(1,3) = 1^3 - 3cdot 3^2 = 1 - 27 = -26,
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partial fpartial x(1,3) =12cdot 1^2 cdot(-26) = -312

Passo 4

Para partial fpartial y, usamos novamente f=2u^2 e
partial upartial y = -6y, obtendo
partial fpartial y =4u;partial upartial y =4l(x^3-3y^2r)cdot(-6y) =-24yl(x^3-3y^2r)

Passo 5

Avaliando em (1,3):
partial fpartial y(1,3) =-24cdot 3 cdot(-26) =-72cdot(-26) =1872

Resposta

partial fpartial x(1,3)=-312,
partial fpartial y(1,3)=1872

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