Determine a transformada de Laplace de
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar a transformada de Laplace da função $ h(t) $, que é definida de forma diferente em três intervalos de tempo:
Para resolver isso, vamos usar o conceito de funções por partes e a transformada de Laplace, que é uma ferramenta muito útil para resolver equações diferenciais e analisar sistemas.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função $ h(t) $ usando a função de Heaviside $ u(t) $, que é igual a 0 para $ t < 0 $ e 1 para $ t \geq 0 $. Isso vai nos ajudar a expressar a função de forma mais conveniente para aplicar a transformada de Laplace.
A função $ h(t) $ pode ser escrita como:
Aqui, $ u(t - a) $ é a função de Heaviside que “liga” a função a partir do tempo $ t = a $.
Passo 3
Agora, vamos separar essa expressão em partes que podemos transformar individualmente. Isso fica assim:
Agora temos três termos para transformar: $ (2t - 8)u(t - 2) $, $ -(2t - 8)u(t - 3) $, e $ 4u(t - 3) $.
Passo 4
Vamos lembrar da propriedade da transformada de Laplace para funções deslocadas no tempo. Se temos $ f(t - a)u(t - a) $, a transformada de Laplace é $ e^{-as}F(s) $, onde $ F(s) $ é a transformada de $ f(t) $.
Aplicando isso ao primeiro termo $ (2t - 8)u(t - 2) $:
Primeiro, identifique $ f(t) = 2t - 8 $, então a transformada de $ f(t) $ é $ F(s) = \frac{2}{s^2} - \frac{8}{s} $.
Então, a transformada de $ (2t - 8)u(t - 2) $ é:
Passo 5
Vamos agora transformar o segundo termo $ -(2t - 8)u(t - 3) $:
Usando a mesma lógica, a função é $ f(t) = 2t - 8 $ e a transformada é $ F(s) = \frac{2}{s^2} - \frac{8}{s} $.
Então, a transformada de $ -(2t - 8)u(t - 3) $ é:
Passo 6
Por último, vamos transformar o terceiro termo $ 4u(t - 3) $:
Aqui, $ f(t) = 4 $, cuja transformada de Laplace é $ F(s) = \frac{4}{s} $.
Aplicando a propriedade de deslocamento no tempo, a transformada de $ 4u(t - 3) $ é:
Passo 7
Agora, vamos juntar todas as transformadas que encontramos:
Podemos simplificar um pouco mais juntando os termos com $ e^{-3s} $:
Simplificando dentro do parênteses:
Resposta
A transformada de Laplace da função $ h(t) $ é: