Calcule as derivadas parciais das funções a seguir nos pontos dados.
x=1 nos pontos y=1 e

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de f(x,y)=3·e{(2x2y)} no ponto (x,y)=(1,1). Vamos usar o conceito de derivada parcial: ao derivar em relação a uma variável, tratamos a outra como constante.

Passo 2

Para encontrar ∂f/∂x vamos aplicar a regra da cadeia. Temos f(x,y)=3·e{(2x2y)}, então
partial fpartial x(x,y)=3,e^(2x^2y)cdotddx(2x^2y)
Como y é constante,
ddx(2x^2y)=2ycdotddx(x^2)=2ycdot2x=4xy
Logo,
partial fpartial x(x,y)=3,e^(2x^2y)cdot4xy=12xy,e^(2x^2y)
Avaliando em (1,1):
partial fpartial x(1,1)=12cdot1cdot1,e^2cdot1^2cdot1=12e^2

Passo 3

Agora, para ∂f/∂y usamos novamente a regra da cadeia em f(x,y)=3·e{(2x2y)}:
partial fpartial y(x,y)=3,e^(2x^2y)cdotddy(2x^2y)
Como x é constante,
ddy(2x^2y)=2x^2
Logo,
partial fpartial y(x,y)=3,e^(2x^2y)cdot2x^2=6x^2,e^(2x^2y)
Avaliando em (1,1):
partial fpartial y(1,1)=6cdot1^2,e^2cdot1^2cdot1=6e^2

Resposta

partial fpartial x(1,1)=12e^2, partial fpartial y(1,1)=6e^2

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