1. Determine se f(x, y) é contínua no ponto (0,0) se
& f(x, y, z)=3 x y zx^2+y^2+z^2 ;(x, y, z) neq(0,0,0) & f(x, y, z)=0 ;(x, y, z)=(0,0,0)
(Sol. f(x,y) é contínua)

Passo 1

Temos a função de três variáveis definida por
f(x,y,z)= 3,x,y,zx^2+y^2+z^2,&(x,y,z)neq(0,0,0) 0,&(x,y,z)=(0,0,0)
Queremos verificar se f é contínua em (0,0,0), ou seja, se o limite de f quando (x,y,z)→(0,0,0) é igual a f(0,0,0).

Passo 2

Para f ser contínua em (0,0,0) precisamos checar que
lim(x,y,z)to(0,0,0)f(x,y,z)=f(0,0,0)=0
Se conseguirmos mostrar que esse limite vale 0, está feito.

Passo 3

Definimos
rho=raizx^2+y^2+z^2
Então |x|≤ρ, |y|≤ρ, |z|≤ρ e para (x,y,z)≠(0,0,0) temos
|f(x,y,z)|= |3,x,y,zx^2+y^2+z^2| <=3,rho^3rho^2 =3,rho

Passo 4

Como rhoto0 implica 3rhoto0, concluímos que
lim(x,y,z)to(0,0,0)f(x,y,z)=0=f(0,0,0)
Logo, f é contínua em (0,0,0).

Resposta

f é contínua em (0,0,0).

Exercícios relacionados