Se R for uma região plana qualquer á qual se aplica o Teorema de Green, mostre que a área A de R é dada pela formula
A=12 ointpartial R-y dx+x dy
Use a fórmula (*) para calcular a área das regiões limitadas pelas curvas dadas:
o eixo x e o arco da ciclóide x=a(theta-sen theta), y=a(1-cos theta), 0 <= theta <= 2 pi.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: primeiro mostrar que, para qualquer região plana R em que valha o Teorema de Green, sua área satisfaz
A=12ointpartial R(-y,dx + x,dy)
Depois, usar essa fórmula para calcular a área da região limitada pelo eixo x e pelo arco da ciclóide
x=a(theta-sintheta), y=a(1-costheta), 0<=theta<=2pi
Vamos precisar de Teorema de Green, parametrização de curvas e cálculo de integrais.

Passo 2

Para derivar a fórmula geral, consideramos o campo vetorial
F(x,y)=l(P,Qr)=l(-tfrac y2,,tfrac x2r)
Pelo Teorema de Green,
$$\oint_{\partial R}P,dx + Q,dy = \iint_R\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr),dA.
ointpartial RP,dx + Q,dy = integral duplaRl(partial Qpartial x-partial Ppartial yr),dA \frac{\partial Q}{\partial x}=\tfrac12,\quad \frac{\partial P}{\partial y}=-\tfrac12,$$
segue que o integrando vale 1, logo
$$\oint_{\partial R}(-y,dx + x,dy)=2\iint_R dA =2A,
partial Qpartial x=tfrac12, partial Ppartial y=-tfrac12,A=\tfrac12\oint_{\partial R}(-y,dx + x,dy).$$

Passo 3

Vamos descrever o contorno partial R da região entre a ciclóide e o eixo x de modo que o interior fique sempre à esquerda da curva (orientação positiva). Ele consiste em dois trechos:
  1. C1: o segmento no eixo x de (0,0) até (2pi a,0), percorrido no sentido positivo de x.
  2. C2: o arco da ciclóide de (2pi a,0) de volta a (0,0), que obtemos fazendo theta descer de 2pi até 0.
    Assim
$$\oint_{\partial R}(-y,dx + x,dy)=\int_{C_1}(-y,dx + x,dy)+\int_{C_2}(-y,dx + x,dy).
$$

Passo 4

No trecho C1 temos y=0, logo
$$-y,dx + x,dy = 0\cdot dx + x\cdot 0 = 0.
-y,dx + x,dy = 0cdot dx + xcdot 0 = 0 \int_{C_1}(-y,dx + x,dy)=0.$$

Passo 5

No arco da ciclóide C2 usamos a parametrização padrão com theta indo de 2pi até 0:
x(theta)=a(theta-sintheta), y(theta)=a(1-costheta)
Derivando, obtemos
,dx = a(1-costheta),dtheta, dy = asintheta,dtheta
Logo o integrando é
-y,dx + x,dy = -a(1-costheta)cdot a(1-costheta),dtheta + a(theta-sintheta)cdot asintheta,dtheta
Fatorando a^2 e lembrando que integraremos de 2pi até 0, teremos
integralC2(-y,dx + x,dy) = a^2integral2pi^0l[-(1-costheta)^2 + (theta-sintheta)sinthetar]dtheta

Passo 6

Para simplificar, trocamos os limites e introduzimos sinal negativo:
integralC2(-y,dx + x,dy) = -a^2integral0^2pil[-(1-costheta)^2 + (theta-sintheta)sinthetar]dtheta
Expandindo:
-(1-costheta)^2 = -1 +2costheta -cos^2theta,
(theta-sintheta)sintheta = thetasintheta -sin^2theta
Somando e usando cos^2theta+sin^2theta=1, o integrando vira
-2 +2costheta + thetasintheta
Assim
integralC2(-y,dx + x,dy)= -a^2l[integral0^2pi(-2)dtheta + integral0^2pi2costheta dtheta + integral0^2pithetasintheta dthetar]
Calculando cada parte:
integral0^2pi-2,dtheta = -4pi,
integral0^2pi2costheta,dtheta = 0,
integral0^2pithetasintheta,dtheta = -2pi (por partes).
Então
integralC2(-y,dx + x,dy)= -a^2[-4pi + 0 -2pi] = 6pi a^2

Passo 7

Finalmente, somando as duas contribuições e aplicando a fórmula da área:
ointpartial R(-y,dx + x,dy)=0 +6pi a^2 =6pi a^2,
logo
A=tfrac12ointpartial R(-y,dx + x,dy)=tfrac12cdot6pi a^2 =3pi a^2

Passo 8

A área da região limitada pelo arco da ciclóide e o eixo x é portanto

Passo 9

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