Se
for uma região plana qualquer á qual se aplica o Teorema de Green, mostre que a área
de
é dada pela formula
Use a fórmula
para calcular a área das regiões limitadas pelas curvas dadas:
o eixo
e o arco da ciclóide
.
o eixo
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: primeiro mostrar que, para qualquer região plana R em que valha o Teorema de Green, sua área satisfaz
Depois, usar essa fórmula para calcular a área da região limitada pelo eixo x e pelo arco da ciclóide
Vamos precisar de Teorema de Green, parametrização de curvas e cálculo de integrais.
Passo 2
Para derivar a fórmula geral, consideramos o campo vetorial
Pelo Teorema de Green,
$$\oint_{\partial R}P,dx + Q,dy = \iint_R\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr),dA.
segue que o integrando vale 1, logo
$$\oint_{\partial R}(-y,dx + x,dy)=2\iint_R dA =2A,
Passo 3
Vamos descrever o contorno
da região entre a ciclóide e o eixo x de modo que o interior fique sempre à esquerda da curva (orientação positiva). Ele consiste em dois trechos:
-
: o segmento no eixo x de até , percorrido no sentido positivo de . -
: o arco da ciclóide de de volta a , que obtemos fazendo descer de até .
Assim
$$\oint_{\partial R}(-y,dx + x,dy)=\int_{C_1}(-y,dx + x,dy)+\int_{C_2}(-y,dx + x,dy).
$$
Passo 4
No trecho
temos
, logo
$$-y,dx + x,dy = 0\cdot dx + x\cdot 0 = 0.
Passo 5
No arco da ciclóide
usamos a parametrização padrão com
indo de
até
:
Derivando, obtemos
Logo o integrando é
Fatorando
e lembrando que integraremos de
até
, teremos
Passo 6
Para simplificar, trocamos os limites e introduzimos sinal negativo:
Expandindo:
Somando e usando
, o integrando vira
Assim
Calculando cada parte:
Então
Passo 7
Finalmente, somando as duas contribuições e aplicando a fórmula da área:
logo
Passo 8
A área da região limitada pelo arco da ciclóide e o eixo x é portanto