Questão 10. Obtenha a expansão em série de Laurent de cada uma das funções abaixo na região indicada:
f(z)=z^2 sen z para 0<|z|;

Passo 1

O enunciado pede a expansão em série de Laurent de f(z)=z^{2}\sin z na região 0<|z|<∞, ou seja, em toda a parte menos a origem. Vamos usar a série de Maclaurin de \sin z e multiplicar por z^{2}.

Passo 2

A série de Maclaurin de \sin z é dada por:
sin z = sumn=0^infty (-1)^n z^2n+1(2n+1)!

Passo 3

Multiplicando essa série por z^{2}, obtemos
f(z)=z^2sin z = z^2 sumn=0^infty (-1)^n z^2n+1(2n+1)! = sumn=0^infty (-1)^n z^2n+3(2n+1)!

Passo 4

Observação: não há termos de potência negativa em z, logo essa é também a expansão de Laurent válida para 0<|z|<∞, pois converge para todo z.

Passo 5

Portanto, a série de Laurent de f(z) em 0<|z|<∞ é exatamente a série de potências encontrada acima.

Resposta

f(z)=z^2sin z=sumn=0^infty(-1)^nz^2n+3(2n+1)!, 0<|z|

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