Questão 10. Obtenha a expansão em série de Laurent de cada uma das funções abaixo na região indicada:
para
;
Passo 1
O enunciado pede a expansão em série de Laurent de f(z)=z^{2}\sin z na região 0<|z|<∞, ou seja, em toda a parte menos a origem. Vamos usar a série de Maclaurin de \sin z e multiplicar por z^{2}.
Passo 2
A série de Maclaurin de \sin z é dada por:
Passo 3
Multiplicando essa série por z^{2}, obtemos
Passo 4
Observação: não há termos de potência negativa em z, logo essa é também a expansão de Laurent válida para 0<|z|<∞, pois converge para todo z.
Passo 5
Portanto, a série de Laurent de f(z) em 0<|z|<∞ é exatamente a série de potências encontrada acima.