Questão 10. Obtenha a expansão em série de Laurent de cada uma das funções abaixo na região indicada:
f(z)=1z-1-1z-2 para 1<|z|<2;

Passo 1

O enunciado pede a expansão em série de Laurent de f(z)=1z-1-1z-2 na região 1<|z|<2. O conteúdo é séries de Laurent e vamos usar as séries geométricas adequadas para cada termo, respeitando as condições de convergência.

Passo 2

Para expandir 1z-1 em |z|>1, escrevemos
1z-1 = 1z11 - 1/z
Como |1/z|<1, aplicamos a série geométrica
11 - 1/z = sumn=0^infty l(1/zr)^n
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1z-1 = 1zsumn=0^infty z^-n = sumn=0^infty z^-n-1 = sumn=1^infty z^-n

Passo 3

Para expandir -1z-2 em |z|<2, note que
1z-2 = -1211 - z/2
e portanto
-1z-2 = 1211 - z/2 = 12sumn=0^infty l(tfracz2r)^n = sumn=0^infty z^n2^n+1

Passo 4

Somando as duas expansões obtemos a série de Laurent válida em 1<|z|<2:
f(z) = sumn=1^infty z^-n + sumn=0^infty z^n2^n+1

Resposta

f(z)=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty z{-n}+\sum_{n=0}\infty \frac{zn}{2{n+1}}

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