Questão 10. Obtenha a expansão em série de Laurent de cada uma das funções abaixo na região indicada:
para
;
Passo 1
O enunciado pede a expansão em série de Laurent de
na região
. O conteúdo é séries de Laurent e vamos usar as séries geométricas adequadas para cada termo, respeitando as condições de convergência.
Passo 2
Para expandir
em
, escrevemos
Como
Logo
Passo 3
Para expandir
em
, note que
e portanto
Passo 4
Somando as duas expansões obtemos a série de Laurent válida em
:
Resposta
f(z)=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty z{-n}+\sum_{n=0}\infty \frac{zn}{2{n+1}}