Calcule as derivadas parciais das funções a seguir:
(m) z=raize^x-yy-x^2
R: partial zpartial x=e^x(y-x^2+2 x)-2 x y2 raiz(e^x-y)(y-x^2)^3 ; partial zpartial y=x^2-e^x2 raiz(e^x-y)(y-x^2)^3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de derivadas parciais juntos! O enunciado pede para calcular as derivadas parciais da função . Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente sobre derivadas parciais de funções de várias variáveis. Para resolver, vamos precisar aplicar a regra da cadeia e as regras de derivação de funções compostas e quocientes.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função z = ( e^x - yy - x^2 )^12 de uma forma que facilite a derivação. Podemos expressar a raiz quadrada como uma potência fracionária:
Isso vai ajudar a aplicar a regra da potência durante a derivação.

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de partial zpartial x = 12 ( e^x - yy - x^2 )^-12 cdot partialpartial x ( e^x - yy - x^2 ) em relação a , ou seja, . Usaremos a regra da cadeia:
Aqui, a primeira parte é a derivada da potência, e a segunda parte é a derivada do quociente.

Passo 4

Agora, vamos derivar o quociente partialpartial x ( e^x - yy - x^2 ) = (e^x cdot (y - x^2)) - (e^x - y) cdot (-2x)(y - x^2)^2 em relação a = e^x(y - x^2) + 2x(e^x - y)(y - x^2)^2 . Usaremos a regra do quociente:
Simplificando:

Passo 5

Substituindo de volta na expressão da derivada parcial:
partial zpartial x = 12 ( e^x - yy - x^2 )^-12 cdot e^x(y - x^2) + 2x(e^x - y)(y - x^2)^2
Vamos reescrever isso para simplificar:
= e^x(y - x^2) + 2x(e^x - y)2 raize^x - yy - x^2 cdot (y - x^2)^2

Passo 6

Simplificando a expressão:
= e^x(y - x^2) + 2x e^x - 2x y2 raize^x - yy - x^2 cdot (y - x^2)^2
Factorando = e^x(y - x^2 + 2x) - 2x y2 raize^x - yy - x^2 cdot (y - x^2)^2 e reorganizando termos:

Passo 7

Agora, vamos simplificar a raiz e os denominadores:
raize^x - yy - x^2 cdot (y - x^2)^2 = raize^x - y cdot (y - x^2)^32
Portanto, a derivada parcial em relação a partial zpartial x = e^x(y - x^2 + 2x) - 2x y2 raiz(e^x - y)(y - x^2)^3 fica:

Passo 8

Agora, vamos calcular a derivada parcial de partial zpartial y = 12 ( e^x - yy - x^2 )^-12 cdot partialpartial y ( e^x - yy - x^2 ) em relação a , ou seja, . Novamente, aplicamos a regra da cadeia:

Passo 9

Derivando o quociente em relação a partialpartial y ( e^x - yy - x^2 ) = (-1)(y - x^2) - (e^x - y)(1)(y - x^2)^2 :
= - (y - x^2) - e^x + y (y - x^2)^2 = - e^x + x^2 (y - x^2)^2
Simplificando:

Passo 10

Substituindo de volta na expressão da derivada parcial:
partial zpartial y = 12 ( e^x - yy - x^2 )^-12 cdot x^2 - e^x(y - x^2)^2
Reescrevendo:
= x^2 - e^x2 raize^x - yy - x^2 cdot (y - x^2)^2

Passo 11

Simplificando a expressão final:
partial zpartial y = x^2 - e^x2 raiz(e^x - y)(y - x^2)^3

Resposta

As derivadas parciais da função são:
partial zpartial x = e^x(y - x^2 + 2x) - 2xy2 raiz(e^x - y)(y - x^2)^3
e
partial zpartial y = x^2 - e^x2 raiz(e^x - y)(y - x^2)^3

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