Calcule as derivadas parciais das funções a seguir:
(m)
(m)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de derivadas parciais juntos! O enunciado pede para calcular as derivadas parciais da função
. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente sobre derivadas parciais de funções de várias variáveis. Para resolver, vamos precisar aplicar a regra da cadeia e as regras de derivação de funções compostas e quocientes.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função
de uma forma que facilite a derivação. Podemos expressar a raiz quadrada como uma potência fracionária:
Isso vai ajudar a aplicar a regra da potência durante a derivação.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Usaremos a regra da cadeia:
Aqui, a primeira parte é a derivada da potência, e a segunda parte é a derivada do quociente.
Passo 4
Agora, vamos derivar o quociente
em relação a
. Usaremos a regra do quociente:
Simplificando:
Passo 5
Substituindo de volta na expressão da derivada parcial:
Vamos reescrever isso para simplificar:
Passo 6
Simplificando a expressão:
Factorando
e reorganizando termos:
Passo 7
Agora, vamos simplificar a raiz e os denominadores:
Portanto, a derivada parcial em relação a
fica:
Passo 8
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Novamente, aplicamos a regra da cadeia:
Passo 9
Derivando o quociente em relação a
:
Simplificando:
Passo 10
Substituindo de volta na expressão da derivada parcial:
Reescrevendo:
Passo 11
Simplificando a expressão final:
Resposta
As derivadas parciais da função são:
e