Mostre que a intensidade da força de atração da lâmina com densidade rho que ocupa o plano inteiro sobre um objeto de massa m localizado à distância d do plano é
F = 2 pi G m rho
Observe que esta expressão não deve depender de d.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre calcular a força gravitacional que uma lâmina infinita com densidade rho exerce sobre um objeto de massa m que está a uma distância d dela. O legal dessa força é que ela não depende de d. Para resolver isso, vamos usar a Lei da Gravitação Universal e entender como a massa da lâmina age gravitacionalmente sobre o objeto.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar a Lei da Gravitação Universal de Newton, que diz que a força gravitacional entre duas massas é dada por:
onde G é a constante gravitacional, e são as massas, e r é a distância entre elas.

Passo 3

No nosso caso, uma das massas é o objeto de massa m, e a outra massa é a da lâmina infinita. Mas como a lâmina é infinita, não podemos simplesmente usar a fórmula direta. Precisamos integrar a contribuição de todas as pequenas partes da lâmina para encontrar a força total.

Passo 4

Vamos considerar um elemento infinitesimal da lâmina com área . A massa desse elemento é , onde rho é a densidade superficial da lâmina.

Passo 5

A distância entre o elemento e o objeto é d, e a força gravitacional exercida por esse elemento sobre o objeto é:

Passo 6

Agora, para encontrar a força total, precisamos somar (integrar) todas essas contribuições ao longo de toda a lâmina. Como a lâmina é infinita, em coordenadas cilíndricas, a área pode ser escrita como , onde r é a distância radial.

Passo 7

Mas como a lâmina é infinita e simétrica, a contribuição da força gravitacional em todas as direções radiais se cancela, restando apenas a componente perpendicular à lâmina. Essa componente será sempre a mesma, independente de r, já que a lâmina é infinita.

Passo 8

Assim, a força total F é:
Mas aqui vemos que algo está errado, pois a integral diverge. Isso indica que para uma lâmina infinita, o campo gravitacional não depende da distância d.

Passo 9

Corrigindo o raciocínio: na verdade, o campo gravitacional g criado por uma lâmina infinita é constante e dado por:
Então, a força sobre a massa m é simplesmente:

Resposta

A intensidade da força de atração é .

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