Mostre que a intensidade da força de atração da lâmina com densidade
que ocupa o plano inteiro sobre um objeto de massa
localizado à distância
do plano é
Observe que esta expressão não deve depender de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre calcular a força gravitacional que uma lâmina infinita com densidade
exerce sobre um objeto de massa
que está a uma distância
dela. O legal dessa força é que ela não depende de
. Para resolver isso, vamos usar a Lei da Gravitação Universal e entender como a massa da lâmina age gravitacionalmente sobre o objeto.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar a Lei da Gravitação Universal de Newton, que diz que a força gravitacional entre duas massas é dada por:
onde
é a constante gravitacional,
e
são as massas, e
é a distância entre elas.
Passo 3
No nosso caso, uma das massas é o objeto de massa
, e a outra massa é a da lâmina infinita. Mas como a lâmina é infinita, não podemos simplesmente usar a fórmula direta. Precisamos integrar a contribuição de todas as pequenas partes da lâmina para encontrar a força total.
Passo 4
Vamos considerar um elemento infinitesimal da lâmina com área
. A massa desse elemento é
, onde
é a densidade superficial da lâmina.
Passo 5
A distância entre o elemento
e o objeto é
, e a força gravitacional exercida por esse elemento sobre o objeto é:
Passo 6
Agora, para encontrar a força total, precisamos somar (integrar) todas essas contribuições ao longo de toda a lâmina. Como a lâmina é infinita, em coordenadas cilíndricas, a área
pode ser escrita como
, onde
é a distância radial.
Passo 7
Mas como a lâmina é infinita e simétrica, a contribuição da força gravitacional em todas as direções radiais se cancela, restando apenas a componente perpendicular à lâmina. Essa componente será sempre a mesma, independente de
, já que a lâmina é infinita.
Passo 8
Assim, a força total F é:
Mas aqui vemos que algo está errado, pois a integral diverge. Isso indica que para uma lâmina infinita, o campo gravitacional não depende da distância
.
Passo 9
Corrigindo o raciocínio: na verdade, o campo gravitacional
criado por uma lâmina infinita é constante e dado por:
Então, a força sobre a massa
é simplesmente:
Resposta
A intensidade da força de atração é
.