Sabendo que a equação da circunferência de raio r centrada na origem é x^2 + y^2 = R^2, determine a integral que mede o comprimento da circunferência e utilize alguma técnica de integração para resolvê-la.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que foi pedido. A gente tem a equação de uma circunferência com raio centrada na origem, que é . O objetivo aqui é encontrar uma integral que calcule o comprimento dessa circunferência e resolver essa integral usando alguma técnica de integração. Para isso, vamos precisar usar conhecimentos de cálculo integral e geometria analítica, especificamente a fórmula para o comprimento de uma curva.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o comprimento de uma curva no plano. Se a circunferência for parametrizada por funções e , o comprimento da curva de até é dado por:

Passo 3

Agora, vamos parametrizar a circunferência. Uma parametrização comum para uma circunferência centrada na origem é:
onde varia de a para percorrer toda a circunferência.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas das funções parametrizadas em relação a :
Agora, substituímos essas derivadas na fórmula do comprimento:

Passo 5

Simplificando dentro da raiz:
Portanto, a integral fica:

Resposta

O comprimento da circunferência é .

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