Sabendo que a equação da circunferência de raio
centrada na origem é
, determine a integral que mede o comprimento da circunferência e utilize alguma técnica de integração para resolvê-la.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que foi pedido. A gente tem a equação de uma circunferência com raio
centrada na origem, que é
. O objetivo aqui é encontrar uma integral que calcule o comprimento dessa circunferência e resolver essa integral usando alguma técnica de integração. Para isso, vamos precisar usar conhecimentos de cálculo integral e geometria analítica, especificamente a fórmula para o comprimento de uma curva.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o comprimento de uma curva no plano. Se a circunferência for parametrizada por funções
e
, o comprimento
da curva de
até
é dado por:
Passo 3
Agora, vamos parametrizar a circunferência. Uma parametrização comum para uma circunferência centrada na origem é:
onde
varia de
a
para percorrer toda a circunferência.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas das funções parametrizadas em relação a
:
Agora, substituímos essas derivadas na fórmula do comprimento:
Passo 5
Simplificando dentro da raiz:
Portanto, a integral fica:
Resposta
O comprimento da circunferência é
.