A seguir, estudaremos a aparente convergência de uma integral imprópria.
© Por outro lado, mostre que integral0^+infty 2 xx^2+1 d x diverge

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que analisar a integral imprópria e mostrar que ela diverge. Isso está relacionado ao estudo de integrais impróprias na matéria de cálculo, onde a gente verifica se uma integral toda bem definida de verdade chega a um valor finito ou não. Para resolver isso, vamos usar uma substituição simples e entender o comportamento da integral quando tende ao infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a integral usando uma substituição. Vamos deixar du = 2x , dx . Assim, a gente deriva 2xx^2+1 , dx = duu em relação a integral duu :
Isso é ótimo porque o numerador da nossa integral é exatamente , o que significa que podemos substituir:
Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral indefinida integral duu = ln|u| + C . A antiderivada de ln(x^2 + 1) + C é o logaritmo natural de :
Substituindo de volta , temos:

Passo 4

Agora, vamos voltar ao nosso problema original, que é a integral definida de integral0^+infty 2xx^2+1 , dx = ln(x^2 + 1) |0^+infty a . Vamos aplicar os limites na antiderivada que encontramos:
Isso significa que precisamos calcular o limite quando tende ao infinito e subtrair o valor quando .

Passo 5

Vamos avaliar os limites:
  1. Quando ln(0^2 + 1) = ln(1) = 0 :
ln(x^2 + 1) approx ln(x^2) = 2ln(x) +infty
  1. Quando +infty - 0 = +infty tende a :
Então, a diferença fica:

Resposta

A integral diverge para infinito.

Exercícios relacionados