Determine lim x 1 x^3+x^2-5 x-3x^3-7 x^2+11 x-5

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: lim x 1 x^3+x^2-5 x-3x^3-7 x^2+11 x-5. Aqui, a matéria que vamos usar é limites de funções racionais. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar expressões e fatorar polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece quando substituímos x = 1 diretamente na expressão. Isso nos ajuda a identificar se temos uma forma indeterminada.
No numerador:
1^3 + 1^2 - 5 cdot 1 - 3 = 1 + 1 - 5 - 3 = -6
No denominador:
1^3 - 7 cdot 1^2 + 11 cdot 1 - 5 = 1 - 7 + 11 - 5 = 0
Então, a expressão fica -60, o que indica que o limite tende a infinito ou menos infinito. Mas, para termos certeza, vamos analisar os sinais próximos de x = 1.

Passo 3

Vamos fatorar o denominador para entender melhor o comportamento da função perto de x = 1. O denominador é x^3 - 7x^2 + 11x - 5. Usamos o Teorema das Raízes Racionais para encontrar possíveis raízes. Testando x = 1:
1^3 - 7 cdot 1^2 + 11 cdot 1 - 5 = 1 - 7 + 11 - 5 = 0
Então, (x - 1) é um fator. Fazendo a divisão polinomial ou usando fatoração, o denominador fica:
(x - 1)(x^2 - 6x + 5) = (x - 1)(x - 1)(x - 5)
Então, o denominador é (x - 1)^2(x - 5).

Passo 4

Agora, vamos olhar para o numerador: x^3 + x^2 - 5x - 3. Vamos verificar se (x - 1) também é um fator do numerador.
Substituindo x = 1:
1^3 + 1^2 - 5 cdot 1 - 3 = 1 + 1 - 5 - 3 = -6 neq 0
Como (x - 1) não é um fator do numerador, não temos simplificação direta. Isso confirma que o limite tende a infinito ou menos infinito.

Passo 5

Para determinar se o limite é +infty ou -infty, analisamos o sinal da expressão próximo a x = 1.
Como o denominador é (x - 1)^2(x - 5), e (x - 1)^2 é sempre positivo, o sinal do denominador próximo a x = 1 depende de (x - 5). Para x próximo a 1:
  • Se x > 1, (x - 5) é negativo.
  • Se x < 1, (x - 5) também é negativo.
O numerador é -6 (negativo). Então, a expressão -6negativo resulta em positivo.

Resposta

O limite é +infty.

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