Determine a reta tangente à curva
e que seja paralela reta:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a reta tangente à curva
que seja paralela à reta
. Isso envolve conceitos de derivadas para achar a tangente e de geometria analítica para tratar das retas paralelas. Vamos precisar calcular a derivada da função, determinar a inclinação da reta dada e igualar essas inclinações para achar o ponto de tangência.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a inclinação da reta
. Para isso, vamos reescrever a equação na forma
:
Aqui,
é a inclinação da reta.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
para saber a inclinação da reta tangente em qualquer ponto
. A derivada de
é:
Passo 4
Como queremos que a reta tangente seja paralela à reta dada, as inclinações devem ser iguais. Ou seja:
Passo 5
Vamos resolver essa equação para encontrar o valor de
:
Passo 6
Com o valor de
, vamos encontrar o ponto na curva
:
Então, o ponto de tangência é
.
Passo 7
Agora, usando a forma ponto-inclinação da equação da reta, onde
e o ponto é
:
Passo 8
Vamos simplificar essa equação:
Resposta
A reta tangente à curva
que é paralela à reta
é: