Calcule as derivadas parciais das funções a seguir:
(j)
(j)
Passo 1
Vamos resolver a questão que pede para calcular as derivadas parciais da função
. Aqui, estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente com derivadas parciais de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar usar regras de derivação, como a regra do produto, a cadeia e as derivadas de funções exponenciais e a função arco-tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as duas partes da função
:
Vamos derivar cada parte em relação a
e depois em relação a
.
Passo 3
Derivada parcial em relação a
:
Começando com a primeira parte
:
- A derivada de
em relação a é , onde . - Então,
.
Agora, derivando a segunda parte
:
- A derivada de
em relação a é , onde . - Então,
.
Juntando as duas derivadas:
Passo 4
Derivada parcial em relação a
:
Vamos novamente começar com a primeira parte
:
- A derivada de
em relação a é , já que .
Agora, derivando a segunda parte
:
- Usando a mesma regra da função arco-tangente, temos:
Juntando as duas derivadas:
Resposta
As derivadas parciais da função são: