Calcule as derivadas parciais das funções a seguir:
(j) f(x, y)=e^x y+artg(xy)
R: partial fpartial x=y e^x y-yx^2+y^2 ; partial fpartial y=x e^x y+xx^2+y^2

Passo 1

Vamos resolver a questão que pede para calcular as derivadas parciais da função . Aqui, estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente com derivadas parciais de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar usar regras de derivação, como a regra do produto, a cadeia e as derivadas de funções exponenciais e a função arco-tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas partes da função :
Vamos derivar cada parte em relação a e depois em relação a .

Passo 3

Derivada parcial em relação a partial fpartial x = y e^x y - yx^2 + y^2 :
Começando com a primeira parte :
  • A derivada de em relação a é , onde .
  • Então, .
Agora, derivando a segunda parte :
  • A derivada de em relação a é , onde .
  • Então, .
Juntando as duas derivadas:

Passo 4

Derivada parcial em relação a partialpartial y artg(xy) = 11 + (xy)^2 cdot (-xy^2) = -xx^2 + y^2 :
Vamos novamente começar com a primeira parte partial fpartial y = x e^x y + xx^2 + y^2 :
  • A derivada de em relação a é , já que .
Agora, derivando a segunda parte :
  • Usando a mesma regra da função arco-tangente, temos:
Juntando as duas derivadas:

Resposta

As derivadas parciais da função são:
partial fpartial x = y e^x y - yx^2 + y^2
partial fpartial y = x e^x y + xx^2 + y^2

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