Questão 3: Considere a função
.
b) Determine a imagem da função;
b) Determine a imagem da função;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
. O que a gente precisa descobrir aqui é qual é a imagem dessa função, ou seja, quais valores ela pode realmente assumir quando a gente varia
e
. Para isso, vamos usar conceitos básicos de álgebra e propriedades de quadrados.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na função:
. A gente vê que tem dois termos ao quadrado:
e
. Sabemos que qualquer número ao quadrado é sempre maior ou igual a zero, ou seja:
Então, somando esses dois termos, a gente tem:
E, como a função
adiciona 1 a essa soma, temos:
Passo 3
Agora, vamos ver se a função realmente pode atingir o valor mínimo que encontramos, que é 1. Para isso, precisamos que ambos os termos ao quadrado sejam zero:
Resolvendo essas equações, encontramos:
Então, quando
e
, a função
atinge o valor 1:
Passo 4
Como os termos
e
são sempre não negativos, a função
vai aumentar conforme
e
se afastam de 2 e 1, respectivamente. Não tem um limite superior para esses termos, então a função pode crescer indefinidamente.
Resposta
A imagem da função
é o conjunto de todos os números reais maiores ou iguais a 1. Em notação matemática: