Questão 3: Considere a função f(x, y) = (x - 2)² + (y - 1)² + 1.
b) Determine a imagem da função;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função . O que a gente precisa descobrir aqui é qual é a imagem dessa função, ou seja, quais valores ela pode realmente assumir quando a gente varia e . Para isso, vamos usar conceitos básicos de álgebra e propriedades de quadrados.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na função: . A gente vê que tem dois termos ao quadrado: e . Sabemos que qualquer número ao quadrado é sempre maior ou igual a zero, ou seja:
Então, somando esses dois termos, a gente tem:
E, como a função adiciona 1 a essa soma, temos:

Passo 3

Agora, vamos ver se a função realmente pode atingir o valor mínimo que encontramos, que é 1. Para isso, precisamos que ambos os termos ao quadrado sejam zero:
Resolvendo essas equações, encontramos:
Então, quando e , a função atinge o valor 1:

Passo 4

Como os termos e são sempre não negativos, a função vai aumentar conforme e se afastam de 2 e 1, respectivamente. Não tem um limite superior para esses termos, então a função pode crescer indefinidamente.

Resposta

A imagem da função é o conjunto de todos os números reais maiores ou iguais a 1. Em notação matemática:

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