Questão 3: Considere a função
.
c) Determine o valor máximo ou mínimo da função, se existir;
c) Determine o valor máximo ou mínimo da função, se existir;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
. Nosso objetivo é descobrir se essa função tem algum valor máximo ou mínimo, e qual seria esse valor. Vamos precisar entender um pouco sobre funções de duas variáveis e como encontrar seus pontos de máximo ou mínimo usando derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos perceber que
é uma função que soma três termos:
,
e 1. Esses termos quadrados nos dizem que a função é sempre positiva ou zero, já que qualquer quadrado é positivo.
Passo 3
Para encontrar os pontos de mínimo ou máximo, vamos calcular as derivadas parciais da função em relação a
e
, e igualá-las a zero. As derivadas parciais nos ajudam a ver como a função se comporta em cada direção.
Passo 4
Calculando a derivada parcial em relação a
:
E igualando a zero:
Passo 5
Agora, calculando a derivada parcial em relação a
:
E igualando a zero:
Passo 6
Encontramos que o ponto crítico é
. Agora, vamos verificar se esse ponto é um mínimo ou máximo. Como os termos quadrados são sempre positivos, esse ponto será o ponto de mínimo da função.
Passo 7
Para confirmar, vamos calcular o valor da função nesse ponto:
Resposta
A função
possui um mínimo no ponto
com valor mínimo igual a 1.