Questão 3: Considere a função f(x, y) = (x - 2)² + (y - 1)² + 1.
c) Determine o valor máximo ou mínimo da função, se existir;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função . Nosso objetivo é descobrir se essa função tem algum valor máximo ou mínimo, e qual seria esse valor. Vamos precisar entender um pouco sobre funções de duas variáveis e como encontrar seus pontos de máximo ou mínimo usando derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos perceber que é uma função que soma três termos: , e 1. Esses termos quadrados nos dizem que a função é sempre positiva ou zero, já que qualquer quadrado é positivo.

Passo 3

Para encontrar os pontos de mínimo ou máximo, vamos calcular as derivadas parciais da função em relação a e , e igualá-las a zero. As derivadas parciais nos ajudam a ver como a função se comporta em cada direção.

Passo 4

Calculando a derivada parcial em relação a :
E igualando a zero:

Passo 5

Agora, calculando a derivada parcial em relação a :
E igualando a zero:

Passo 6

Encontramos que o ponto crítico é . Agora, vamos verificar se esse ponto é um mínimo ou máximo. Como os termos quadrados são sempre positivos, esse ponto será o ponto de mínimo da função.

Passo 7

Para confirmar, vamos calcular o valor da função nesse ponto:

Resposta

A função possui um mínimo no ponto com valor mínimo igual a 1.

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