Calcule as derivadas parciais das funções a seguir:
(e) z=x^2+3 y^2+4 x y+4
R: partial zpartial x=2 x+4 y ; partial zpartial y=4 x+6 y

Passo 1

Vamos entender o problema. Precisamos calcular as derivadas parciais da função . Isso faz parte do estudo de cálculo de derivadas parciais, que nos ajuda a entender como a função varia em relação a cada uma das variáveis independentes e . Para resolver isso, vamos derivar em relação a e depois em relação a , mantendo a outra variável constante em cada caso.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Ao fazer isso, tratamos como uma constante. Vamos derivar cada termo de com relação a :
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é , já que é tratado como constante.
  • A derivada de em relação a é , pois é uma constante.
  • A derivada de em relação a é .
Somando esses resultados, temos .

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Desta vez, tratamos como uma constante. Vamos derivar cada termo de com relação a :
  • A derivada de em relação a é , já que é tratado como constante.
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é , pois é uma constante.
  • A derivada de em relação a é .
Somando esses resultados, temos .

Resposta

partial zpartial x = 2x + 4y ; partial zpartial y = 4x + 6y

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