Use coordenadas esféricas.
Calcule integral triplaE rho^2 d V , onde E está entre as esferas rho=1 e rho=3 e acima do cone phi=pi / 4 .

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral triplaErho^2,dV usando coordenadas esféricas, onde E é o sólido entre as esferas rho=1 e rho=3 e acima do cone phi=pi/4. Vamos usar a mudança para coordenadas esféricas, sabendo que \r
dV = rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta

Passo 2

Em coordenadas esféricas a integral fica \r
integral triplaErho^2,dV = integraltheta=0^2piintegralphi=0^pi/4integralrho=1^3 rho^2l(rho^2sinphir),drho,dphi,dtheta = integral0^2piintegral0^pi/4integral1^3rho^4sinphi,drho,dphi,dtheta

Passo 3

Calculamos primeiro a integral em rho:
integral1^3rho^4,drho = [rho^55]1^3 = 3^5-1^55 = 243-15 = 2425

Passo 4

Agora a parte angular. Em phi:
integral0^pi/4sinphi,dphi = l[-cosphir]0^pi/4 = 1-raiz22
Em theta:
integral0^2pidtheta = 2pi
Multiplicando todos os fatores:
2425;l(1-tfracraiz22r);2pi = 484pi5l(1-raiz22r)

Resposta

integral triplaErho^2,dV = 484pi5l(1-raiz22r)

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