Esboce a região delimitada pelas curvas dadas e encontre a área da região.
y=x, y=x^3

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a região comum às curvas
y = x
e
y = x^3
e, em seguida, calcular a área dessa região. Para o esboço, note que y=x é a reta de 45circ passando pela origem, e y=x^3 é uma cúbica ímpar que também passa pela origem, com pontos característicos em (-1,-1), (0,0) e (1,1).

Passo 2

Encontramos os pontos de interseção solucionando
x^3 = x
ou seja
x(x^2 - 1) = 0
Logo as soluções são
x = -1, x=0, x=1
São esses os limites horizontais da região.

Passo 3

Para saber qual curva está por cima em cada intervalo, escolhemos um ponto-teste:
  • Em [-1,0], tome x=-tfrac12:
    x^3 = -tfrac18 e x = -tfrac12. Como -tfrac18 > -tfrac12, segue que y=x^3 fica acima de y=x.
  • Em [0,1], tome x=tfrac12:
    x^3 = tfrac18 e x = tfrac12. Como tfrac12 > tfrac18, segue que y=x fica acima de y=x^3.

Passo 4

A área é dada pela integral da diferença entre a curva de cima e a de baixo, dividida em dois trechos:
A = integral-1^0l(x^3 - xr),dx ;+; integral0^1l(x - x^3r),dx

Passo 5

Observando que as duas parcelas têm o mesmo valor em módulo (simetria ímpar do integrando), podemos calcular apenas
integral0^1(x - x^3),dx e dobrar o resultado:
integral0^1(x - x^3),dx = l[tfrac12,x^2 - tfrac14,x^4r]0^1 = tfrac12 - tfrac14 = tfrac14
Portanto
A = 2 times tfrac14 = tfrac12

Resposta

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