Esboce a região delimitada pelas curvas dadas e encontre a área da região.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar a região comum às curvas
e
e, em seguida, calcular a área dessa região. Para o esboço, note que
é a reta de
passando pela origem, e
é uma cúbica ímpar que também passa pela origem, com pontos característicos em
,
e
.
Passo 2
Encontramos os pontos de interseção solucionando
ou seja
Logo as soluções são
São esses os limites horizontais da região.
Passo 3
Para saber qual curva está por cima em cada intervalo, escolhemos um ponto-teste:
- Em
, tome :
e . Como , segue que fica acima de . - Em
, tome :
e . Como , segue que fica acima de .
Passo 4
A área é dada pela integral da diferença entre a curva de cima e a de baixo, dividida em dois trechos:
Passo 5
Observando que as duas parcelas têm o mesmo valor em módulo (simetria ímpar do integrando), podemos calcular apenas
e dobrar o resultado:
Portanto