Calcule as derivadas parciais indicadas
z=9-x^{2}-7 y^{3} ; f_{x}(3,1), f_{y}(1,3)

Passo 1

O enunciado nos dá a função z = 9 - x^2 - 7y^3 e pede as derivadas parciais \frac{\partial z}{\partial x} em (3,1) e \frac{\partial z}{\partial y} em (1,3). O conteúdo aqui é derivação parcial de funções de duas variáveis, tratando a variável não diferenciada como constante.

Passo 2

Para achar \frac{\partial z}{\partial x}, derivamos z em relação a x, mantendo y fixo. Em
z = 9 - x^2 - 7y^3
a derivada de 9 é 0, de -x^2 é -2x e de -7y^3 é 0. Logo,
\frac{\partial z}{\partial x} = -2x.

Passo 3

Agora avaliamos em (x,y)=(3,1):
\frac{\partial z}{\partial x}(3,1) = -2\cdot 3 = -6.

Passo 4

Para achar \frac{\partial z}{\partial y}, derivamos z em relação a y, mantendo x fixo. Em
z = 9 - x^2 - 7y^3
a derivada de 9 e de -x^2 é 0, e de -7y^3 é -7\cdot 3y^2 = -21y^2. Logo,
\frac{\partial z}{\partial y} = -21y^2.

Passo 5

Agora avaliamos em (x,y)=(1,3):
\frac{\partial z}{\partial y}(1,3) = -21\cdot 3^2 = -21\cdot 9 = -189.

Resposta

f_x(3,1) = -6 f_y(1,3) = -189

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