Seja z=x e^{-y}+5 y, determine a inclinação da superfície z=f(x, y) na direção:
do eixo Y no ponto (-3,0)

Passo 1

O enunciado dá a superfície
z = x e^{-y} + 5y
e pede a inclinação na direção do eixo y no ponto (-3,0). Esse “inclinação” é a derivada direcional de f(x,y)=x e^{-y}+5y na direção do vetor unitário ao longo do eixo y, isto é, \mathbf{u}=(0,1). Como em geral
D_{\mathbf{u}}f(x,y)=\nabla f(x,y)\cdot\mathbf{u}
e \mathbf{u}=(0,1), temos
D_{\mathbf{u}}f(x,y)=\frac{\partial f}{\partial y}(x,y).

Passo 2

Calcular a derivada parcial de f em relação a y:
\frac{\partial z}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x e^{-y}+5y\bigr) =x\frac{d}{dy}(e^{-y})+5 =-x e^{-y}+5.

Passo 3

Avaliar em (x,y)=(-3,0):
\frac{\partial z}{\partial y}\Big|_{(-3,0)} =-(-3)e^{0}+5 =3+5 =8.

Resposta

A inclinação da superfície na direção do eixo y no ponto (-3,0) é 8.

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