Determne a equação do plano tangente à superfície dada no ponto indicado:
z=e^{3 y} \cdot 2 \sqrt{3} \operatorname{sen} x ; \quad P(\pi / 3,0,3)

Passo 1

O enunciado nos dá a superfície definida por
z = 2\sqrt{3}\,e^{3y}\sin x
e pede a equação do plano tangente em P\bigl(x_0,y_0,z_0\bigr) = \bigl(\tfrac{\pi}{3},0,3\bigr).
Conteúdo: usar derivadas parciais para funções de duas variáveis e a fórmula do plano tangente
z - z_0 = f_x(x_0,y_0)\,(x - x_0) + f_y(x_0,y_0)\,(y - y_0).

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais de f(x,y)=2\sqrt{3}\,e^{3y}\sin x.
Para \displaystyle f_x, tratamos y como constante e derivamos \sin x:
f_x(x,y) =2\sqrt{3}\,e^{3y}\,\frac{\partial}{\partial x}\bigl(\sin x\bigr) =2\sqrt{3}\,e^{3y}\cos x.
Para \displaystyle f_y, tratamos x como constante e derivamos e^{3y} usando a regra da cadeia:
f_y(x,y) =2\sqrt{3}\,\sin x\;\frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{3y}\bigr) =2\sqrt{3}\,\sin x\,(3e^{3y}) =6\sqrt{3}\,e^{3y}\sin x.

Passo 3

Agora avaliamos em \bigl(x_0,y_0\bigr)=\bigl(\tfrac{\pi}{3},0\bigr).
Temos e^{3\cdot0}=1, \sin\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr)=\tfrac{\sqrt{3}}{2} e \cos\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr)=\tfrac12.
f_x\bigl(\tfrac{\pi}{3},0\bigr) =2\sqrt{3}\cdot1\cdot\tfrac12 =\sqrt{3}, \quad f_y\bigl(\tfrac{\pi}{3},0\bigr) =6\sqrt{3}\cdot1\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2} =6\sqrt{3}\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2} =9.

Passo 4

Substituindo na fórmula do plano tangente
z - z_0 = f_x(x_0,y_0)\,(x - x_0) + f_y(x_0,y_0)\,(y - y_0),
com z_0=3, x_0=\tfrac{\pi}{3}, y_0=0, f_x=\sqrt{3}, f_y=9, obtemos
z - 3 = \sqrt{3}\,\bigl(x - \tfrac{\pi}{3}\bigr) + 9\,(y - 0).

Passo 5

Podemos reescrever em forma explícita isolando z:
z = \sqrt{3}\,x - \tfrac{\pi\sqrt{3}}{3} +9y +3.

Resposta

\boxed{z - 3 = \sqrt{3}\,\bigl(x - \tfrac{\pi}{3}\bigr) + 9y}
ou equivalentemente
\boxed{z = \sqrt{3}\,x + 9y + 3 - \tfrac{\pi\sqrt{3}}{3}}.

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