Determne a equação do plano tangente à superfície dada no ponto indicado:
z=4 x^{2} y^{2}+2 y ; P(1,1,6)

Passo 1

Vamos resumir: queremos o plano tangente à superfície z=4x^{2}y^{2}+2y no ponto P(1,1,6). Para isso, usamos a fórmula
z - z_{0} = f_x(x_{0},y_{0})\,(x - x_{0}) + f_y(x_{0},y_{0})\,(y - y_{0}),
onde f(x,y)=4x^{2}y^{2}+2y e (x_{0},y_{0},z_{0})=(1,1,6).

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f(x,y). Em relação a x:
f_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}(4x^{2}y^{2}+2y)=8x\,y^{2},
e em relação a y:
f_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}(4x^{2}y^{2}+2y)=8x^{2}\,y + 2.

Passo 3

Agora avaliamos em (1,1): f_x(1,1)=8\cdot1\cdot1^{2}=8
e f_y(1,1)=8\cdot1^{2}\cdot1+2=10.

Passo 4

Substituindo x_{0}=1, y_{0}=1, z_{0}=6, f_x(1,1)=8 e f_y(1,1)=10 na fórmula do plano:
z - 6 = 8(x - 1) + 10(y - 1).
Isolando z, obtemos a forma explícita
z = 8x + 10y - 12.

Resposta

A equação do plano tangente é
z - 6 = 8(x - 1) + 10(y - 1).
Equivalentemente,
z = 8x + 10y - 12.

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