Calcule as derivadas parciais
a) f(x, y, z)=z^{2} \ln \left(1+x^{2}+y^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais da função
f(x,y,z) = z^{2}\,\ln\bigl(1 + x^{2} + y^{2}\bigr).
O conteúdo envolvido é cálculo de derivada parcial, aplicando a regra do produto (entre z^2 e \ln(\cdot)) e a regra da cadeia (para a função logaritmo).

Passo 2

Para calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}, tratamos z e y como constantes. Temos
f(x,y,z) = z^{2} \cdot \ln\bigl(1 + x^{2} + y^{2}\bigr).
A derivada de \ln(u) em relação a x é \frac{1}{u}\,u'. Tomando u = 1 + x^{2} + y^{2}, obtemos u' = 2x. Logo,
\frac{\partial f}{\partial x} = z^{2}\,\frac{1}{1 + x^{2} + y^{2}}\cdot 2x = \frac{2x\,z^{2}}{1 + x^{2} + y^{2}}.

Passo 3

Para calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}, o raciocínio é análogo ao do passo anterior, agora deriva-se em relação a y, com z e x constantes. Tem-se
u = 1 + x^{2} + y^{2},\quad u' = 2y,
portanto
\frac{\partial f}{\partial y} = z^{2}\,\frac{1}{1 + x^{2} + y^{2}}\cdot 2y = \frac{2y\,z^{2}}{1 + x^{2} + y^{2}}.

Passo 4

Para calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial z}, agora \ln\bigl(1+x^{2}+y^{2}\bigr) é constante e derivamos z^{2}. Como \frac{d}{dz}(z^{2}) = 2z, resulta
\frac{\partial f}{\partial z} = 2z \,\ln\bigl(1 + x^{2} + y^{2}\bigr).

Resposta

\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{2x\,z^{2}}{1 + x^{2} + y^{2}},\quad \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{2y\,z^{2}}{1 + x^{2} + y^{2}},\quad \frac{\partial f}{\partial z} = 2z\,\ln\bigl(1 + x^{2} + y^{2}\bigr).

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