Resolva as questões colocando todas as passagens e todos os detalhes.
{ }^{a} Questão. (25 pontos) Use fator integrante para achar a solução geral da EDO
y^{\prime}-y=1+3 \operatorname{sen} t

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem e linear
y' - y = 1 + 3\sin t
e pede a solução geral usando fator integrante. Para resolver precisamos lembrar que uma EDO da forma
y' + p(t)\,y = q(t)
tem fator integrante
\mu(t) = e^{\int p(t)\,dt}.

Passo 2

Aqui temos p(t)=-1, logo
\mu(t) = e^{\int -1\,dt} = e^{-t}.
Multiplicando toda a EDO por e^{-t}, obtemos
e^{-t}y' - e^{-t}y = e^{-t}(1 + 3\sin t).

Passo 3

O lado esquerdo é a derivada do produto e^{-t}y, pois
\frac{d}{dt}\bigl(e^{-t}y\bigr) = e^{-t}y' + (-1)e^{-t}y = e^{-t}y' - e^{-t}y.
Logo a equação fica
\frac{d}{dt}\bigl(e^{-t}y\bigr) = e^{-t}(1 + 3\sin t).

Passo 4

Integramos ambos os lados em t:
\int \frac{d}{dt}\bigl(e^{-t}y\bigr)\,dt = \int e^{-t}(1 + 3\sin t)\,dt.
No lado direito separamos as integrais:
\int e^{-t}\,dt + 3\int e^{-t}\sin t\,dt = -e^{-t} - \frac{3}{2}e^{-t}(\sin t + \cos t) + C,
onde usamos a fórmula
\int e^{-t}\sin t\,dt =\frac{e^{-t}}{(-1)^2+1^2}\bigl(-1\sin t -1\cos t\bigr) = -\frac{e^{-t}}{2}(\sin t+\cos t).

Passo 5

Temos então
e^{-t}y = -e^{-t} - \frac{3}{2}e^{-t}(\sin t + \cos t) + C.
Multiplicando por e^t, obtemos a solução geral
y(t) = -1 - \frac{3}{2}\bigl(\sin t + \cos t\bigr) + C\,e^t.

Resposta

A solução geral da EDO é
\boxed{y(t) = -1 - \frac{3}{2}\bigl(\sin t + \cos t\bigr) + C\,e^t.}

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