Resolva as questões colocando todas as passagens e todos os detalhes.
{ }^{a} Questão. (25 pontos) Encontre a solução geral da EDO
x^{2} y^{\prime \prime}+5 x y^{\prime}+4 y=0, x>0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO
x^{2}y'' + 5x\,y' + 4y = 0,\quad x>0.
Esse é um caso clássico de equação de Cauchy–Euler de segunda ordem. Para resolver, vamos usar o método de assumir uma solução na forma
y = x^{m}.

Passo 2

Partindo de y = x^{m}, calculamos as derivadas necessárias:
y' = m\,x^{m-1},
y'' = m(m-1)\,x^{m-2}.
Substituindo na equação original:
x^{2}\bigl[m(m-1)x^{m-2}\bigr] + 5x\bigl[mx^{m-1}\bigr] + 4\,x^{m} = 0,
que simplifica para
\bigl[m(m-1) + 5m + 4\bigr]\,x^{m} = 0.
Como x^{m}\neq0 para x>0, resta a equação característica
m(m-1) + 5m + 4 = 0.

Passo 3

Resolvendo a equação característica:
m^{2} - m + 5m + 4 = m^{2} + 4m + 4 = 0
(m + 2)^{2} = 0
obtém-se raiz dupla
m = -2 \quad(\text{multiplicidade 2}).

Passo 4

Para uma raiz dupla m=-2 de uma equação de Cauchy–Euler, a solução geral é
y(x) = C_{1}\,x^{m} + C_{2}\,x^{m}\ln(x).
Substituindo m=-2, concluímos
y(x) = C_{1}\,x^{-2} + C_{2}\,x^{-2}\ln(x),
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x) = C_{1}\,x^{-2} + C_{2}\,x^{-2}\ln(x).

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