Calcule as derivadas parciais de 1{ }^{\mathrm{a}} ordem:
f(x, y)=y^{2} \cdot \ln \left(x^{2}+y^{2}\right)

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)=y^{2}\,\ln\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)
e pede as derivadas parciais de primeira ordem. Vamos usar a regra do produto (pois f é produto de y^2 e \ln(x^2+y^2)) e a regra da cadeia (para derivar \ln).

Passo 2

Para calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}, note que y^2 é tratado como constante em relação a x. Assim
\frac{\partial f}{\partial x} = y^{2}\,\frac{d}{dx}\Bigl[\ln(x^{2}+y^{2})\Bigr] = y^{2}\,\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\cdot 2x = \frac{2x\,y^{2}}{x^{2}+y^{2}}.

Passo 3

Para calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}, aplicamos produto e cadeia:
\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{d}{dy}(y^{2})\;\ln(x^{2}+y^{2}) + y^{2}\;\frac{d}{dy}\Bigl[\ln(x^{2}+y^{2})\Bigr].
Aqui \frac{d}{dy}(y^{2})=2y e \frac{d}{dy}\bigl[\ln(x^{2}+y^{2})\bigr] =\tfrac{1}{x^{2}+y^{2}}\cdot 2y. Então
\frac{\partial f}{\partial y} =2y\,\ln(x^{2}+y^{2}) + y^{2}\,\frac{2y}{x^{2}+y^{2}} =2y\,\ln(x^{2}+y^{2})+\frac{2y^{3}}{x^{2}+y^{2}}.

Resposta

\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{2x\,y^{2}}{x^{2}+y^{2}}, \qquad \frac{\partial f}{\partial y} =2y\,\ln(x^{2}+y^{2})+\frac{2y^{3}}{x^{2}+y^{2}}.

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