Determine quais das funções y_{1}(x)=x^{2}, y_{2}(x)=x^{3} e y_{3}(x)=e^{-x} são soluções da equação
(x+3) y^{\prime \prime}+(x+2) y^{\prime}-y=0
justificando detalhadamente.

Passo 1

O enunciado pede para verificar quais das funções \,y_{1}(x)=x^{2},\;\;y_{2}(x)=x^{3} e \;y_{3}(x)=e^{-x}
satisfazem a equação diferencial
(x+3)\,y''+(x+2)\,y'-y=0.
O conteúdo principal aqui é cálculo de derivadas e substituição em uma EDO linear de segunda ordem. Para cada y_i vamos calcular y_i' e y_i'', substituir na equação e simplificar para ver se o resultado é zero para todo x.

Passo 2

Verificação de y_{1}(x)=x^{2}.
Calculamos as derivadas:
y_{1}'(x)=2x, \qquad y_{1}''(x)=2.
Substituindo em (x+3)y''+(x+2)y'-y, temos
(x+3)\cdot 2 \;+\;(x+2)\cdot (2x)\;-\;x^{2} =2x+6 \;+\;2x^{2}+4x \;-\;x^{2} =x^{2}+6x+6.
Como x^{2}+6x+6\neq0 para todo x, concluímos que y_{1} não é solução.

Passo 3

Verificação de y_{2}(x)=x^{3}.
Calculamos as derivadas:
y_{2}'(x)=3x^{2}, \qquad y_{2}''(x)=6x.
Substituindo,
(x+3)\cdot(6x)\;+\;(x+2)\cdot(3x^{2})\;-\;x^{3} =6x^{2}+18x\;+\;3x^{3}+6x^{2}\;-\;x^{3} =2x^{3}+12x^{2}+18x =2x\,(x+3)^{2}.
Como 2x\,(x+3)^{2}\neq0 para valores gerais de x, y_{2} não é solução.

Passo 4

Verificação de y_{3}(x)=e^{-x}.
Calculamos as derivadas:
y_{3}'(x)=-e^{-x}, \qquad y_{3}''(x)=e^{-x}.
Substituindo,
(x+3)\,e^{-x}\;+\;(x+2)\,(-e^{-x})\;-\;e^{-x} =\bigl(x+3 -\,x -2 -1\bigr)\,e^{-x} =0\cdot e^{-x} =0.
O resultado é zero para todo x, logo y_{3} é solução da equação.

Resposta

A única função que satisfaz
(x+3)\,y''+(x+2)\,y'-y=0
é
y_{3}(x)=e^{-x}.

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