Calcule as derivadas parciais de 1{ }^{\mathrm{a}} ordem:
z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}-\left(x^{2}+y^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem de
z = \sqrt{x^{2}+y^{2}} - \bigl(x^{2}+y^{2}\bigr).
Vamos usar a regra da cadeia para \sqrt{u} e a regra da potência para x^{2}+y^{2}.

Passo 2

Calculemos \partial z/\partial x. Defina u = x^{2}+y^{2}. Então \sqrt{u} tem derivada \frac{1}{2\sqrt{u}} e \partial u/\partial x = 2x. Assim,
\frac{\partial}{\partial x}\sqrt{x^{2}+y^{2}} = \frac{1}{2\sqrt{u}}\cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}},
e
\frac{\partial}{\partial x}(x^{2}+y^{2}) = 2x.
Logo,
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \;-\; 2x.

Passo 3

De modo análogo para \partial z/\partial y, temos \partial u/\partial y = 2y, logo
\frac{\partial}{\partial y}\sqrt{x^{2}+y^{2}} = \frac{1}{2\sqrt{u}}\cdot 2y = \frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}},
e
\frac{\partial}{\partial y}(x^{2}+y^{2}) = 2y.
Portanto,
\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \;-\; 2y.
Observação: em (x,y)=(0,0) a função não é diferenciável por causa de \sqrt{x^2+y^2}.

Resposta

\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} - 2x
\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} - 2y

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