Calcule as derivadas parciais de 1{ }^{\mathrm{a}} ordem:
f(x, y)=e^{x^{2} y}

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem de f(x,y)=e^{x^{2}y}. O conteúdo aqui é derivada de função composta: uma exponencial cujo expoente é u(x,y)=x^{2}y. Para resolver, vamos usar a regra da cadeia, derivando primeiro a exponencial em relação a u e depois u em relação a cada variável.

Passo 2

Para calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}, consideramos y como constante. Seja u(x,y)=x^{2}y. Então
\frac{\partial u}{\partial x} =\frac{\partial (x^{2}y)}{\partial x} =2x\,y.
Pela regra da cadeia,
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{d}{du}\bigl(e^{u}\bigr)\cdot\frac{\partial u}{\partial x} =e^{u}\cdot(2x\,y) =2x\,y\,e^{x^{2}y}.

Passo 3

Para calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}, agora x é constante. Ainda com u(x,y)=x^{2}y,
\frac{\partial u}{\partial y} =\frac{\partial (x^{2}y)}{\partial y} =x^{2}.
Aplicando a regra da cadeia,
\frac{\partial f}{\partial y} =\frac{d}{du}\bigl(e^{u}\bigr)\cdot\frac{\partial u}{\partial y} =e^{u}\cdot x^{2} =x^{2}\,e^{x^{2}y}.

Resposta

\frac{\partial f}{\partial x}=2x\,y\,e^{x^{2}y},\quad \frac{\partial f}{\partial y}=x^{2}\,e^{x^{2}y}.

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