Resolva os problemas de valor inicial
(a) \left\{\begin{array}{l}\left(e^{-y}+1\right) \operatorname{sen} x d x=(1+\cos x) d y \\\ y(0)=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
(e^{-y}+1)\,\sin x\,dx=(1+\cos x)\,dy
com condição inicial y(0)=0. Trata-se de uma ED separável, então vamos separar as variáveis y e x e integrar ambos os lados.

Passo 2

Reescrevendo em forma de derivada, temos
\frac{dy}{dx} =\frac{(e^{-y}+1)\,\sin x}{1+\cos x}.
Como
\frac{\sin x}{1+\cos x} =\tan\bigl(\tfrac x2\bigr),
segue
\frac{dy}{dx} =(e^{-y}+1)\,\tan\bigl(\tfrac x2\bigr),
ou seja
\frac{dy}{e^{-y}+1} =\tan\bigl(\tfrac x2\bigr)\,dx.

Passo 3

Integramos o lado esquerdo. Multiplicando numerador e denominador por e^y,
\int\frac{dy}{e^{-y}+1} =\int\frac{e^y\,dy}{1+e^y}.
Fazendo u=1+e^y, du=e^y\,dy, resulta
\int\frac{du}{u} =\ln|u| =\ln(1+e^y).

Passo 4

Agora o lado direito. Com u=x/2 e dx=2\,du,
\int\tan\bigl(\tfrac x2\bigr)\,dx =2\int\tan(u)\,du =-2\ln\bigl|\cos u\bigr| =-2\ln\bigl(\cos(\tfrac x2)\bigr).

Passo 5

Igualando as integrais e incluindo constante C:
\ln(1+e^y) =-2\ln\bigl(\cos(\tfrac x2)\bigr)+C \quad\Longrightarrow\quad (1+e^y)\cos^2\bigl(\tfrac x2\bigr)=C'.
Usando y(0)=0: 1+e^0=2 e \cos^2(0/2)=1 dão C'=2.

Passo 6

Fica
1+e^y=\frac{2}{\cos^2(\tfrac x2)},
logo
e^y=2\operatorname{sec}^2\bigl(\tfrac x2\bigr)-1.
Como \operatorname{sec}^2(\tfrac x2)=2/(1+\cos x), obtém-se
e^y=\frac{3-\cos x}{1+\cos x} \quad\Longrightarrow\quad y=\ln\!\biggl(\frac{3-\cos x}{1+\cos x}\biggr).

Resposta

y(x)=\ln\!\biggl(\frac{3-\cos x}{1+\cos x}\biggr).

Exercícios relacionados