Resolva os problemas de valor inicial
(b) \left\{\begin{array}{l}\frac{d y}{d x}=\frac{y^{2}-1}{x^{2}-1} \\\ y(2)=2\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de valores iniciais
\frac{dy}{dx}=\frac{y^{2}-1}{x^{2}-1},\quad y(2)=2
Este problema é de equação de variáveis separáveis, então vamos separar y e x e integrar.

Passo 2

Separe variáveis escrevendo
\frac{dy}{y^{2}-1}=\frac{dx}{x^{2}-1}.

Passo 3

Integre ambos os lados:
\int \frac{dy}{y^{2}-1}=\int \frac{dx}{x^{2}-1}.
Para cada integral use frações parciais:
\frac{1}{y^{2}-1}=\frac{1}{2}\Bigl(\frac{1}{y-1}-\frac{1}{y+1}\Bigr), \quad \frac{1}{x^{2}-1}=\frac{1}{2}\Bigl(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}\Bigr).

Passo 4

Calcule as integrais:
\int \frac{dy}{y^{2}-1} =\frac12\ln\Bigl|\frac{y-1}{y+1}\Bigr|+C_{1}, \quad \int \frac{dx}{x^{2}-1} =\frac12\ln\Bigl|\frac{x-1}{x+1}\Bigr|+C_{2}.
Igualando e agrupando constantes C=C_{2}-C_{1} temos
\ln\Bigl|\frac{y-1}{y+1}\Bigr| =\ln\Bigl|\frac{x-1}{x+1}\Bigr|+C \quad\Longrightarrow\quad \frac{y-1}{y+1} =K\,\frac{x-1}{x+1},
onde K=e^{C}.

Passo 5

Use a condição inicial y(2)=2. Em x=2, y=2
\frac{2-1}{2+1}=K\,\frac{2-1}{2+1} \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{3}=K\,\frac{1}{3} \quad\Longrightarrow\quad K=1.

Passo 6

Com K=1 a relação fica
\frac{y-1}{y+1}=\frac{x-1}{x+1}.
Multiplicando em cruz e simplificando obtemos
y(x+1)- (x+1)= x(y+1)- (y+1) \quad\Longrightarrow\quad 2y=2x \quad\Longrightarrow\quad y=x.

Resposta

y(x)=x,\quad x>1

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