Calcule as derivadas parciais de 1{ }^{\mathrm{a}} ordem:
z=e^{x^{2}} .\left(x^{2}+y^{2}\right)

Passo 1

O enunciado dá a função de duas variáveis
z = e^{x^{2}}\,(x^{2} + y^{2})
e pede as derivadas parciais de primeira ordem. Aqui vamos tratar uma variável como constante de cada vez e usar a regra do produto junto com a regra da cadeia.

Passo 2

Para \frac{\partial z}{\partial x} escrevemos
z = f(x)\,g(x,y)
com f(x)=e^{x^{2}} e g(x,y)=x^{2}+y^{2}.
A derivada de f é
f'(x)=\frac{d}{dx}e^{x^{2}}=e^{x^{2}}\cdot 2x
pela regra da cadeia, e a derivada de g em relação a x é
\frac{\partial g}{\partial x}=2x.
Pela regra do produto:
\frac{\partial z}{\partial x} = f'(x)\,g(x,y) + f(x)\,\frac{\partial g}{\partial x} = e^{x^{2}}\cdot2x\,(x^{2}+y^{2}) + e^{x^{2}}\cdot2x.
Fatorando 2x\,e^{x^{2}}:
\frac{\partial z}{\partial x} = 2x\,e^{x^{2}}\,(x^{2}+y^{2}+1).

Passo 3

Para \frac{\partial z}{\partial y} notamos que e^{x^{2}} é constante em relação a y, e
\frac{\partial}{\partial y}(x^{2}+y^{2}) = 2y.
Logo,
\frac{\partial z}{\partial y} = e^{x^{2}}\cdot 2y.

Resposta

\frac{\partial z}{\partial x} = 2x\,e^{x^{2}}\,(x^{2}+y^{2}+1), \quad \frac{\partial z}{\partial y} = 2y\,e^{x^{2}}.

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