Verifique se a funçāo dada é uma solução para a equação diférencial. ( c_{1} e c_{2} sāo constantes).
y^{\prime \prime}-25 y=0 ; y=c 1 \cos 5 x

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
y = c_{1}\cos 5x
é solução da equação diferencial
y'' - 25\,y = 0,
onde c_{1} é constante. Vamos testar isso substituindo y e suas derivadas na equação.

Passo 2

Calculemos a primeira e a segunda derivadas de y:
y' = \frac{d}{dx}\bigl(c_{1}\cos 5x\bigr) = -5\,c_{1}\sin 5x
y'' = \frac{d}{dx}\bigl(-5\,c_{1}\sin 5x\bigr) = -25\,c_{1}\cos 5x

Passo 3

Substituindo y e y'' em y'' - 25\,y, obtemos
y'' - 25\,y = \bigl(-25\,c_{1}\cos 5x\bigr) - 25\bigl(c_{1}\cos 5x\bigr) = -50\,c_{1}\cos 5x.
Para que isso seja zero para todo x, é preciso que
-50\,c_{1}\cos 5x = 0
identicamente.

Passo 4

A única forma de -50\,c_{1}\cos 5x ser zero para todo x é ter c_{1}=0. Mas aí y\equiv0, que é a solução trivial.

Resposta

A função y=c_{1}\cos 5x não é solução não trivial de y''-25y=0; só satisfaz a equação no caso trivial c_{1}=0.

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