Calcule as integrais definidas
\int_{0}^{1}\left(e^{2 t} \vec{i}+e^{-t} \vec{j}+t \vec{k}\right) d t.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida de um campo vetorial em função de t, ou seja,
\int_{0}^{1}\bigl(e^{2t}\,\vec{i}+e^{-t}\,\vec{j}+t\,\vec{k}\bigr)\,dt.
O conteúdo usado aqui é a linearidade da integral (podemos integrar cada componente separadamente) e as fórmulas básicas de integração de exponenciais e de funções polinomiais.

Passo 2

Integramos a componente em \vec{i}:
\int_{0}^{1}e^{2t}\,dt.
Como \displaystyle\int e^{2t}dt=\frac{1}{2}e^{2t}, temos
\int_{0}^{1}e^{2t}\,dt =\left[\frac{1}{2}e^{2t}\right]_{0}^{1} =\frac{1}{2}e^{2}-\frac{1}{2}e^{0} =\frac{e^{2}-1}{2}.

Passo 3

Integramos a componente em \vec{j}:
\int_{0}^{1}e^{-t}\,dt.
Como \displaystyle\int e^{-t}dt=-e^{-t}, resulta
\int_{0}^{1}e^{-t}\,dt =\bigl[-e^{-t}\bigr]_{0}^{1} =-e^{-1}-\bigl(-e^{0}\bigr) =1-e^{-1}.

Passo 4

Integramos a componente em \vec{k}:
\int_{0}^{1}t\,dt.
Como \displaystyle\int t\,dt=\frac{t^{2}}{2}, obtemos
\int_{0}^{1}t\,dt =\left[\frac{t^{2}}{2}\right]_{0}^{1} =\frac{1^{2}}{2}-0 =\frac{1}{2}.

Passo 5

Reunindo as três componentes, a integral vetorial é
\int_{0}^{1}\bigl(e^{2t}\,\vec{i}+e^{-t}\,\vec{j}+t\,\vec{k}\bigr)\,dt =\Bigl(\frac{e^{2}-1}{2}\Bigr)\vec{i}+(1-e^{-1})\vec{j}+\frac{1}{2}\,\vec{k}.

Resposta

\frac{e^{2}-1}{2}\,\vec{i} \;+\;(1-e^{-1})\,\vec{j}\;+\;\frac{1}{2}\,\vec{k}.

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