Resolva a equação diferencial.
\left(x^{2}+y^{2}\right) d x+\left(x^{2}-x y\right) d y = 0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\,dx+\bigl(x^{2}-x\,y\bigr)\,dy=0
e pede a sua solução geral. Note que M(x,y)=x^{2}+y^{2} e N(x,y)=x^{2}-xy são homogêneos de grau 2, logo a equação é homogênea. Vamos usar a substituição
y=vx,
que transforma a equação num formato separável em v e x.

Passo 2

Escrevemos primeiro
\frac{dy}{dx}=-\frac{M(x,y)}{N(x,y)}=-\frac{x^{2}+y^{2}}{\,x^{2}-x\,y\,}
e, com y=vx, temos
\frac{dy}{dx}=v+x\frac{dv}{dx}.

Passo 3

Substituindo y=vx em \frac{dy}{dx}=v+x\,dv/dx e na expressão de \frac{dy}{dx} obtemos
v+x\frac{dv}{dx} =-\frac{x^{2}+(v x)^{2}}{\,x^{2}-x\,(v x)\,} =-\frac{1+v^{2}}{\,1-v\,}.
Isolando dv/dx, fica
x\frac{dv}{dx} =-\frac{1+v^{2}}{1-v}-v =-\frac{1+v}{1-v}.

Passo 4

Agora separamos variáveis:
\frac{1-v}{\,1+v\,}\,dv=-\frac{dx}{x}.

Passo 5

Integramos cada lado. No lado esquerdo, escrevemos
\frac{1-v}{1+v} =1-\frac{2v}{1+v}
ou então direto por decomposição. Integrando,
\int\frac{1-v}{1+v}\,dv =-v+2\ln\bigl|1+v\bigr|+C_{1},
e à direita
\int -\frac{dx}{x}=-\ln\bigl|x\bigr|+C_{2}.
Juntando constantes C=C_{2}-C_{1}, temos
-v+2\ln\bigl|1+v\bigr| =-\ln\bigl|x\bigr|+C.

Passo 6

Voltando à variável original v=y/x, substituímos v=y/x em
-\frac{y}{x}+2\ln\Bigl|1+\frac{y}{x}\Bigr| =-\ln\bigl|x\bigr|+C.
Reagrupando termos:
-\frac{y}{x}+2\ln\Bigl|1+\frac{y}{x}\Bigr|+\ln\bigl|x\bigr|=C.
Podemos escrever também em forma mais compacta em bloco:
\ln\!\Bigl|\frac{(x+y)^{2}}{x}\Bigr|-\frac{y}{x}=C.

Resposta

A solução geral é dada implicitamente por
\ln\!\Bigl|\frac{(x+y)^{2}}{x}\Bigr|-\frac{y}{x}=C,
onde C é constante arbitrária.

Exercícios relacionados