Resolva a equação diferencial.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
e pede a sua solução geral. Note que
e
são homogêneos de grau 2, logo a equação é homogênea. Vamos usar a substituição
que transforma a equação num formato separável em
e
.
Passo 2
Escrevemos primeiro
e, com
, temos
Passo 3
Substituindo
em
e na expressão de
obtemos
Isolando
, fica
Passo 4
Agora separamos variáveis:
Passo 5
Integramos cada lado. No lado esquerdo, escrevemos
ou então direto por decomposição. Integrando,
e à direita
Juntando constantes
, temos
Passo 6
Voltando à variável original
, substituímos
em
Reagrupando termos:
Podemos escrever também em forma mais compacta em bloco:
Resposta
A solução geral é dada implicitamente por
onde
é constante arbitrária.