Determine os pontos do espaço nos quais a curva descrita pelo vetor posição \vec{r},
\vec{r}(t)=t \vec{i}+t^{2} \vec{j}-3 t \vec{k}
intersecta o plano de equação geral dada por
2 x-y+z+2=0 .
Resp.: as interseções são nos pontos (1,1,-3) e (-2,4,6).

Passo 1

Resumindo: temos a curva
\vec{r}(t)=t\,\vec{i}+t^{2}\,\vec{j}-3t\,\vec{k}
e o plano de equação
2x - y + z + 2 = 0.
Para achar a interseção, basta encontrar os valores de t tais que as coordenadas \bigl(x(t),y(t),z(t)\bigr)=(t,t^2,-3t) satisfaçam a equação do plano.

Passo 2

Substituímos x=t, y=t^2 e z=-3t na equação do plano:
2t - t^2 + (-3t) + 2 = 0
e simplificamos.

Passo 3

Ao agrupar termos, ficamos com
-\,t^2 - t + 2 = 0
ou seja
t^2 + t - 2 = 0.
Pela fórmula de Bhaskara, com a=1, b=1, c=-2, vem
t = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2},
portanto
t = 1 \quad\text{ou}\quad t = -2.

Passo 4

Para t=1:
\vec r(1) = (1,\,1^2,\,-3\cdot1) = (1,\,1,\,-3).
Para t=-2:
\vec r(-2) = (-2,\,(-2)^2,\,-3\cdot(-2)) = (-2,\,4,\,6).

Resposta

Os pontos de interseção são (1,1,-3) e (-2,4,6).

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