a) (0,8) Calcule as derivadas parciais de 1^a ordem da função f(x, y)=x cdot e^2 y^2y^2-x^2.

Passo 1

Temos a função
f(x,y)=x e^2 y^2y^2-x^2
e queremos calcular as derivadas parciais de primeira ordem em (0,8). O conteúdo aqui envolve regra do quociente, pois f é uma razão entre duas funções de (x,y).

Passo 2

Para partial fpartial x, tratamos y como constante e usamos a regra do quociente: definimos
u(x,y)=x e^2 y^2, v(x,y)=y^2-x^2, então
partial fpartial x=ux,v - u,vxv^2

Passo 3

Calculando as derivadas parciais de u e v em relação a x:
ux=e^2y^2, vx=-2x

Passo 4

Substituindo em partial fpartial x:
partial fpartial x=e^2y^2(y^2-x^2) - x e^2y^2(-2x)(y^2-x^2)^2=e^2y^2(y^2+x^2)(y^2-x^2)^2

Passo 5

Em seguida, avaliamos em (0,8):
y^2=64, x=0 partial fpartial x(0,8)=e^264(64+0)(64-0)^2=e^2

Passo 6

Agora para partial fpartial y, tratamos x como constante e repetimos:
uy=2x e^2y, vy=2y, logo pela regra do quociente:
partial fpartial y=2x e^2y,(y^2-x^2) - x e^2y^2(2y)(y^2-x^2)^2=-2e^2x^3y(y^2-x^2)^2

Passo 7

Avaliar em (0,8)
x=0 Rightarrow partial fpartial y(0,8)=0

Resposta

partial fpartial x(0,8)=e^2,partial fpartial y(0,8)=0

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