Exercício 1. Calcule a divergência e o rotacional dos campos abaixo:
F(x, y, z)=lang<= 1, sen z, y cos zrang<=.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a divergência e o rotacional do campo vetorial vec F(x,y,z)=lang<= 1,,sin z,,ycos zrang<=. O conteúdo é cálculo vetorial, e vamos precisar usar as fórmulas da divergência e do rotacional.

Passo 2

Primeiro vamos calcular a divergência usando a definição
ablacdotvec F = partial F1partial x + partial F2partial y + partial F3partial z
Aqui temos:
nablacdotvec F = 0 + 0 + (-ysin z) = -ysin z


Somando, a divergência fica

Passo 3

Agora calculamos o rotacional usando a definição
nablatimesvec F = lang<= partial F3partial y-partial F2partial z, partial F1partial z-partial F3partial x, partial F2partial x-partial F1partial y rang<=
Vamos achar cada componente:
  1. partial F3partial y=partial (ycos z)partial y=cos z e partial F2partial z=partial (sin z)partial z=cos z, então o primeiro componente é cos z-cos z=0.
  2. partial F1partial z=0 e partial F3partial x=0, logo o segundo componente é 0-0=0.
  3. partial F2partial x=0 e partial F1partial y=0, então o terceiro componente é 0-0=0.
    Portanto, o rotacional é o vetor zero.

Resposta

Divergência: nablacdotvec F = -ysin z. Rotacional: nablatimesvec F = lang<= 0,0,0rang<=.

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