Exercício 1. Calcule a divergência e o rotacional dos campos abaixo:
F(x, y, z)=lang<= x^2 y z, x y^2 z, x y z^2rang<=,

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcularmos a divergência e o rotacional (também conhecido como “curl”) de um campo vetorial dado. A matéria aqui é Cálculo Vetorial, especificamente os conceitos de divergência e rotacional. Para resolver isso, vamos precisar das fórmulas que definem a divergência e o rotacional de um campo vetorial em três dimensões.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a divergência do campo vetorial F(x, y, z) = lang<= x^2 y z, x y^2 z, x y z^2 rang<=. A divergência é uma medida de quanto o campo está “saindo” de um ponto. A fórmula para a divergência é:
div , F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z

Passo 3

Vamos calcular cada derivada parcial separadamente:
  1. partial Fxpartial x:
    Fx = x^2 y z partial Fxpartial x = 2x y z
  2. partial Fypartial y:
    Fy = x y^2 z partial Fypartial y = 2x y z
  3. partial Fzpartial z:
    Fz = x y z^2 partial Fzpartial z = 2x y z

Passo 4

Agora, somamos essas derivadas para encontrar a divergência:
div , F = 2x y z + 2x y z + 2x y z = 6x y z

Passo 5

Agora vamos calcular o rotacional (ou curl) do campo vetorial F. O rotacional mede a tendência do campo vetorial de girar em torno de um ponto. A fórmula para o rotacional é:
rot , F = nabla times F = lang<= partial Fzpartial y - partial Fypartial z, partial Fxpartial z - partial Fzpartial x, partial Fypartial x - partial Fxpartial y rang<=

Passo 6

Vamos calcular cada componente do rotacional:
  1. Primeiro componente:
    partial Fzpartial y = partialpartial y(x y z^2) = x z^2 partial Fypartial z = partialpartial z(x y^2 z) = x y^2 Primeiro componente = x z^2 - x y^2 = x(z^2 - y^2)
  2. Segundo componente:
    partial Fxpartial z = partialpartial z(x^2 y z) = x^2 y partial Fzpartial x = partialpartial x(x y z^2) = y z^2 Segundo componente = x^2 y - y z^2 = y(x^2 - z^2)
  3. Terceiro componente:
    partial Fypartial x = partialpartial x(x y^2 z) = y^2 z partial Fxpartial y = partialpartial y(x^2 y z) = x^2 z Terceiro componente = y^2 z - x^2 z = z(y^2 - x^2)

Passo 7

Agora, juntamos os três componentes para formar o rotacional:
rot , F = lang<= x(z^2 - y^2), y(x^2 - z^2), z(y^2 - x^2) rang<=

Resposta

A divergência do campo F é:
div , F = 6x y z
E o rotacional do campo F é:
rot , F = lang<= x(z^2 - y^2), y(x^2 - z^2), z(y^2 - x^2) rang<=

Exercícios relacionados