Exercício 1. Calcule a divergência e o rotacional dos campos abaixo:
,
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcularmos a divergência e o rotacional (também conhecido como “curl”) de um campo vetorial dado. A matéria aqui é Cálculo Vetorial, especificamente os conceitos de divergência e rotacional. Para resolver isso, vamos precisar das fórmulas que definem a divergência e o rotacional de um campo vetorial em três dimensões.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a divergência do campo vetorial
. A divergência é uma medida de quanto o campo está “saindo” de um ponto. A fórmula para a divergência é:
Passo 3
Vamos calcular cada derivada parcial separadamente:
-
: -
: -
:
Passo 4
Agora, somamos essas derivadas para encontrar a divergência:
Passo 5
Agora vamos calcular o rotacional (ou curl) do campo vetorial
. O rotacional mede a tendência do campo vetorial de girar em torno de um ponto. A fórmula para o rotacional é:
Passo 6
Vamos calcular cada componente do rotacional:
-
Primeiro componente:
-
Segundo componente:
-
Terceiro componente:
Passo 7
Agora, juntamos os três componentes para formar o rotacional:
Resposta
A divergência do campo
é:
E o rotacional do campo
é: