Calcule as derivadas parciais de ordem 1 da função dada:
z=y cdot tg(x^2+3 y^2+1)

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função
z = y cdot tanl(x^2 + 3y^2 + 1r)
Para isso vamos usar a regra do produto (quando a variável aparece multiplicando a função) e a regra da cadeia (para derivar tan).

Passo 2

Definimos a função auxiliar
u = x^2 + 3y^2 + 1,
de modo que
z = y ,tan(u)
Para calcular partial zpartial x tratamos y como constante e derivamos tan(u) em relação a x. Aplicando a cadeia e sabendo que dfracdudx=2x, obtemos
partial zpartial x = y cdot ddxl[tan(u)r] = y cdot sec^2(u),dudx = y cdot sec^2(u)cdot 2x = 2xy,sec^2l(x^2+3y^2+1r)

Passo 3

Para calcular partial zpartial y usamos a regra do produto em ycdottan(u). A derivada de y é 1 e a derivada de tan(u) é sec^2(u),uy, com uy=6y. Logo,
partial zpartial y = 1cdot tan(u) + y cdot sec^2(u),partial upartial y = tan(u) + y cdot sec^2(u)cdot 6y = tanl(x^2+3y^2+1r) +6y^2,sec^2l(x^2+3y^2+1r)

Resposta

partial zpartial x = 2xy,sec^2l(x^2+3y^2+1r), partial zpartial y = tanl(x^2+3y^2+1r) +6y^2,sec^2l(x^2+3y^2+1r)

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