Determinar o vector gradiente das funções dadas nos pontos indicados:
z=x raizx^2+y^3 no ponto P(1,1)

Passo 1

O enunciado pede o vetor gradiente de z = xraizx^2+y^3 no ponto P(1,1). Para isso vamos calcular as derivadas parciais partial f/partial x e partial f/partial y usando regra do produto e regra da cadeia.

Passo 2

Calcular partial f/partial x. Escrevendo f(x,y)=xcdot g(x,y) com g(x,y)=(x^2+y^3)^1/2, temos:
partial fpartial x = g(x,y) + xcdot partial gpartial x = raizx^2+y^3 + xcdot 12(x^2+y^3)^-1/2cdot 2x = 2x^2+y^3raizx^2+y^3

Passo 3

Calcular partial f/partial y aplicando regra da cadeia:
partial fpartial y = xcdot 12(x^2+y^3)^-1/2cdot 3y^2 = 3xy^22raizx^2+y^3

Passo 4

Avaliar no ponto (1,1), onde x^2+y^3=1+1=2:
partial fpartial x|(1,1) = 2cdot1^2+1^3raiz2 = 3raiz2, partial fpartial y|(1,1) = 3cdot1cdot1^22raiz2 = 32raiz2

Resposta

nabla f(1,1) = l(tfrac3raiz2,,tfrac32raiz2r)

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