Calcule as derivadas parciais de
ordem das funções abaixo. Determine o domínio (da função e das derivadas).
Passo 1
O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem de
e também o domínio da função e o domínio onde essas derivadas estão definidas. Para isso vamos usar a regra da cadeia e cuidar da região onde
é não-negativo (para a raiz existir) e onde
(para não dividirmos por zero).
Passo 2
Para que
seja real precisamos ter
Logo o domínio da função é
Passo 3
Escrevendo
, aplicamos a regra da cadeia:
De modo análogo,
Passo 4
Nas expressões
aparecem divisões por
. Para que isso faça sentido (e seja finito) precisamos de
Isso exclui as bordas do domínio onde
. Assim o domínio das derivadas parciais é
Passo 5
Nas fronteiras
a raiz existe mas uma das derivadas explode ou não admite limite bilateral (por exemplo, mantendo-se no domínio de
ao variar a única variável). Por isso só consideramos
.
Resposta
Domínio de
:
Derivadas:
Domínio das derivadas: