Calcule as derivadas parciais de 1^ a ordem das funções abaixo. Determine o domínio (da função e das derivadas).
lllll c(x, y)=raizx y

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem de c(x,y)=raizx,y e também o domínio da função e o domínio onde essas derivadas estão definidas. Para isso vamos usar a regra da cadeia e cuidar da região onde x,y é não-negativo (para a raiz existir) e onde x,y>0 (para não dividirmos por zero).

Passo 2

Para que c(x,y)=raizx,y seja real precisamos ter
x,y;>=;0
Logo o domínio da função é
Dc = (x,y)inR^2 mid x,y>=0 = lx>=0,;y>=0r;cup;lx<=0,;y<=0r

Passo 3

Escrevendo c(x,y) = (x,y)^1/2, aplicamos a regra da cadeia:
partial cpartial x = 12,(x,y)^-1/2,partial (x,y)partial x = 12,(x,y)^-1/2,y = y2,raizx,y
De modo análogo,
partial cpartial y = 12,(x,y)^-1/2,partial(x,y)partial y = x2,raizx,y

Passo 4

Nas expressões
partial cpartial x=y2raizx,y, partial cpartial y=x2raizx,y
aparecem divisões por raizx,y. Para que isso faça sentido (e seja finito) precisamos de
x,y>0
Isso exclui as bordas do domínio onde x,y=0. Assim o domínio das derivadas parciais é
Dpartial c = (x,y)inR^2 mid x,y>0 = lx>0,;y>0r;cup;lx<0,;y<0r

Passo 5

Nas fronteiras xy=0 a raiz existe mas uma das derivadas explode ou não admite limite bilateral (por exemplo, mantendo-se no domínio de c ao variar a única variável). Por isso só consideramos xy>0.

Resposta

Domínio de c:
Dc=(x,y)mid x,y>=0
Derivadas:
partial cpartial x(x,y)=y2raizx,y, partial cpartial y(x,y)=x2raizx,y
Domínio das derivadas:
Dpartial c=(x,y)mid x,y>0

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