Exercício 14: Resolva as inequações:
1)
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Passo 1

O enunciado pede para resolver duas inequações:
  1. uma inequação racional
  2. uma inequação que envolve soma de frações (inequação linear em x).
    Para a primeira, vamos determinar o domínio, passar tudo para um único lado, achar o denominador comum, fatorar e montar um quadro de sinais. Para a segunda, basta somar as frações, eliminar denominadores e resolver a inequação linear resultante.

Passo 2

Inequação 1:
1(x-1)^2(x-2) ;>=; 1(x^2-1)(x+3)
Domínio: os denominadores não podem ser zero, logo
xneq1,;xneq2,;x^2-1neq0Rightarrow xneqpm1,;xneq-3
Colocando tudo num só lado:
1(x-1)^2(x-2) ;-;1(x-1)(x+1)(x+3) ;>=;0
O denominador comum é (x-1)^2(x-2)(x+1)(x+3). O numerador fica
(x+1)(x+3);-;(x-1)(x-2) ;=;x^2+4x+3;-;(x^2-3x+2) ;=;7x+1
Então a inequação vira
7x+1(x-1)^2(x-2)(x+1)(x+3);>=;0
Como (x-1)^2>0 para todo xneq1, basta analisar o sinal de 7x+1, de x-2, de x+1 e de x+3. Os pontos críticos são
x=-3,;-1,;-tfrac17,;1,;2,
todos excluídos exceto -tfrac17, onde o numerador zera. Fazendo o quadro de sinais obtemos solução
(-infty,-3);cup;(-1,-tfrac17];cup;(2,infty)

Passo 3

Inequação 2:
x-5 ;<;13+3x4+1-x3
O domínio é todo R. Multiplicamos por 12>0 para eliminar denominadores:
12(x-5) < 12l(tfrac13+tfrac3x4+tfrac1-x3r) ;Longrightarrow; 12x-60 < 4 + 9x + 4 -4x = 8 +5x
Passando 5x para a esquerda e -60 para a direita:
12x-5x < 8+60 ;Longrightarrow; 7x < 68 ;Longrightarrow; x < 687

Resposta

  1. xin(-infty,-3)cup(-1,-tfrac17]cup(2,infty)
  2. x<tfrac687

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