Use a algebra adequada e o Teorema 7.2.1 para deterninar a transfomada inversa de Laplace pedida.
L^-1(2s-1s^3)^2

Passo 1

O enunciado pede L^-1!l((2/s -1/s^3)^2r).
O conteúdo é transformada inversa de Laplace e vamos usar o Teorema 7.2.1 (teorema da convolução):
Lf * g(s)=F(s),G(s),
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L^-1F(s)^2(t) = integral0^t f(tau),f(t-tau),dtau,
onde f(t)=L^-1F(s)(t).

Passo 2

Definimos
F(s)=2s-1s^3,
de modo que buscamos L^-1F(s)^2(t).

Passo 3

Calculamos f(t)=L^-1F(s)(t) usando fórmulas conhecidas:
L^-12/s=2 e
L^-11/s^3 = tfract^22 (pois Lt^2=2/s^3).
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f(t)=2-t^22

Passo 4

Pelo teorema da convolução,
L^-1F(s)^2(t) =integral0^t f(tau),f(t-tau),dtau =integral0^tl(2-tfractau^22r)l(2-tfrac(t-tau)^22r),dtau

Passo 5

Expandimos o integrando:
l(2-tfractau^22r)l(2-tfrac(t-tau)^22r) =4 - tau^2 - (t-tau)^2 + tau^2,(t-tau)^24
Então
integral0^t4,dtau =4t, integral0^tl[-tau^2-(t-tau)^2r]dtau =-2,t^33,
e usando a integral beta
integral0^ttau^2,(t-tau)^2,dtau =t^5integral0^1x^2(1-x)^2dx =t^52!,2!5! =t^530,
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integral0^ttau^2(t-tau)^24,dtau =14cdott^530 =t^5120

Passo 6

Somando tudo:
integral0^tf(tau)f(t-tau),dtau =4t-2,t^33+t^5120

Resposta

L^-1!l(l(tfrac2s-tfrac1s^3r)^2r)(t) =4t-23t^3+1120t^5

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